6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.认识实际测量中的有关名称和术语.

2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题.

1.基线的概念与选择原则

(1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.

(2)性质:在测量过程中,为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

2.测量中的有关概念

(1)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1,θ2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是0°≤θ<360°.

(2)方向角:指以观测者为中心,正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,图1中表示北偏东30°,图2中表示南偏西60°.

(3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角;目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图3所示.

(4)视角:观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.

(5)坡角与坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度,如图所示,α为坡角,坡比i==tan α.

 

 

题型(一)　测量距离问题

[例1]　如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°,

∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少?

解:由正弦定理得

AC=

===10(1+)(m),

BC=

==20(m).

在△ABC中,由余弦定理得

AB==10(m).

∴A,B两点间的距离为10 m.

 

　　|思|维|建|模|

三角形中与距离有关的问题的求解策略

(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.

(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.

 

　　[针对训练]

1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是              (　　)

A.60　 B.60(+1)　 C.30　 D.30(+1)

解析:选A　由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,

∴CD==15(3+),BD==15(-1),∴BC=CD-BD=60.故选A.

 

题型(二)　测量高度问题

 [例2]　如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD.