6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.认识实际测量中的有关名称和术语. 2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题. 1.基线的概念与选择原则 (1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. (2)性质:在测量过程中,为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.测量中的有关概念 (1)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1,θ2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是0°≤θ<360°. (2)方向角:指以观测者为中心,正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,图1中表示北偏东30°,图2中表示南偏西60°. (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角;目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图3所示. (4)视角:观测者的两条视线之间的夹角叫做视角. (5)坡角与坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度,如图所示,α为坡角,坡比i==tan α. 题型(一)　测量距离问题 [例1]　如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少? 解:由正弦定理得 AC= ===10(1+)(m), BC= ==20(m). 在△ABC中,由余弦定理得 AB==10(m). ∴A,B两点间的距离为10 m. 　　|思|维|建|模| 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决. 　　[针对训练] 1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是 (　　) A.60　 B.60(+1)　 C.30　 D.30(+1) 解析:选A　由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°, ∴CD==15(3+),BD==15(-1),∴BC=CD-BD=60.故选A. 题型(二)　测量高度问题 [例2]　如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD. 解:由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°, 所以CD=AD. 在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°, 由=,得AD===800(+1)(m). 即山的高度为800(+1)m. 　　|思|维|建|模| 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路. 　　[针对训练] 2.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β, CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB. 解:在△BCD中,∠CBD=π-(α+β).由正弦定理得=. ∴BC==. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=. 题型(三)　测量角度问题 [例3]　某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF=　　　　. 解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得 DF===10(m),DE===100(m), EF===130(m). 在△DEF中,由余弦定理的推论,得cos∠DEF===-. 答案:- 　　|思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量. 　　[针对训练] 3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿　　　　方向前进才能最快追上乙船,相遇时乙船行驶了　　　　n mile.  解析:如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为x n mile,则AC=x, 由正弦定理得sin θ==,而θ<60°,∴θ=30°.∴∠ACB=30°,BC=AB=a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile. 答案:北偏东30°　a 学科网（北京）股份有限公司 $