6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦余弦定理、正弦定理的应用，通过“测量不可到达两点距离”等问题情境导入，引导学生思考需测量的量（如线段长、角度），搭建“定理知识-实际建模-问题解决”的学习支架，衔接正余弦定理与实际应用。 资料以情境化例题（海底距离、山高测量、缉私追截等）培养数学眼光，分步解析与策略总结提升数学思维，分层训练及导思题强化应用意识，助力学生用数学语言表达和解决现实问题，适配新课标核心素养培养需求。

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 【课标要求】　1.了解常用的测量相关术语.2.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题． 【导学】 学习目标一　测量距离问题 　 如图所示，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，结合图形，需测出哪些量，可以求出A，B两点间的距离？ 生答： 例1 为测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，同时测得AB＝ 海里． (1)求AD的长度； (2)求C，D之间的距离． 三角形中与距离有关问题的求解策略 跟踪训练1　为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A，B，C，D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的北偏东60°方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C，D两岛间的距离． 学习目标二　测量高度问题 例2 如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，求山高MN. 总结：一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法： (1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形； (2)理清边角关系，利用正弦、余弦定理解直角三角形． 跟踪训练2　 如图，为了测量河对岸的塔高AB.可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米． 学习目标三　测量角度问题 例3 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 总结：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 跟踪训练3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问：甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 【导练】 1．如图所示，两座灯塔A和B与海 岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 2．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离分别是3 km，1 km及∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为(　　) A．7 km B．13 km C． km D． km 3．公园内有一棵树，A，B是与树根处O点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为P.如图，观测得∠OAB＝75°，∠OBA＝60°，∠OAP＝60°，AB＝10米，则该树的高度OP大约为(参考数据：≈1.414)(　　) A．21米 B．18米 C．15米 D．10米 4．甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要________小时．(参考数据：取 ≈3.6) 【导思】 如图， 我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东14 海里处．观测中发现，此外国船只正以每时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，则海监船的航向为________，其速度的最小值为________．(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8) 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 导　学 学习目标一　生答：结合图象，需要测出CD的长、∠BCD的大小、∠BDC的大小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB的长．故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小． 例1　解析：(1)由题意得，在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，故∠ADB＝60°. 由正弦定理＝，即＝，所以AD＝＝， 所以AD的长度为 海里． (2)在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°， 所以∠BCA＝∠BAC＝30°，故BC＝AB＝， 由余弦定理可得AC＝＝3； 在△ADC中，AD＝，∠DAC＝45°， 由余弦定理可得CD＝＝＝， 所以C，D之间的距离为 海里． 跟踪训练1　解析： 由题意，作出示意图，其中AB＝15，BC＝21，∠BAC＝60°，∠BAD＝90°，∠ADC＝135°. 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°， 整理得AC2－15AC－216＝0，解得AC＝24或AC＝－9(舍)； 在△ADC中，∠CAD＝30°， 由正弦定理＝， 所以CD＝＝＝12， 所以C，D两岛间的距离为12海里． 学习目标二　 例2　解析：在△ABC中，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝100， ∴AC＝＝100； 在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°， ∴∠AMC＝45°， ＝， ∴＝，∴MA＝100； 在△AMN中，∠MAN＝60°， ∴MN＝MA sin ∠MAN＝MA＝×100＝150， ∴山高MN为150 m． 跟踪训练2　解析：设AB＝h米， 在△ABC中，BC＝＝h， 在△ABD中，BD＝＝h， 在△BCD中，CD2＝CB2＋DB2－2CB·DB·cos 30°， 即302＝h2＋(h)2－2h·h·， 所以h2＝302， 解得h＝30米． 答案：30 学习目标三　 例3　解析： 设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时， 则BD＝10t海里，CD＝10t海里， 因为∠BAC＝45°＋75°＝120°， 在△ABC中，由余弦定理得BC　2＝AB2＋AC　2－2AB·AC·cos ∠BAC， 即BC　2＝[10(－1)]2＋202－2×10(－1)×20×cos 120°＝600， 所以BC＝10， 由正弦定理得sin ∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝45°， 所以BC为东西方向，所以∠CBD＝120°； 在△BCD中，由正弦定理得sin ∠BCD＝＝＝， 所以∠BCD＝30°，所以∠BDC＝30°， 所以BD＝BC＝10，即10t＝10，即t＝小时， 所以缉私艇沿北偏东60°行驶才能最快追上走私船，所需时间为 小时． 跟踪训练3　解析：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇， 　 则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，∠B＝90°＋30°＝120°， 由＝，即sin ∠CAB＝. ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 导　练 1．解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D. 答案：D 2．解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝9＋1－6cos 60°＝7，∴AB＝(km)．故选C. 答案：C 3．解析：在△OAB中，∠AOB＝180°－75°－60°＝45°，则由正弦定理可得＝，即＝，解得|OA|＝5(米)．在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|·tan 60°＝5＝15≈21(米)．故选A. 答案：A 4．解析： 由题可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°， 由余弦定理得BC　2＝AB2＋AC　2－2AB·AC·cos 60°＝1 300，得BC＝10， 乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为＝≈2.4小时． 答案：2.4 导　思 解析： 依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°，由余弦定理得，DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos 45°＝(14)2＋162－2×14×16×＝200，∴DB＝10，即此时该外国船只与D岛的距离为10海里. 过点B作BC⊥AD于点C，在Rt△ABC中，AC＝BC＝8， ∴CD＝AD－AC＝6，以D为圆心，12为半径的圆交BC于点E，连接AE，DE， 在Rt△DEC中，CE＝＝6，∴BE＝2，又AE＝＝10，∴sin ∠EAC＝＝⇒∠EAC≈36°52′，外国船只到达点E的时间t＝＝小时，∴海监船的速度v≥＝20海里/小时，故海监船的航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20海里/小时． 答案：北偏东53°08′　20海里/小时 学科网（北京）股份有限公司 $