6.4.3 第2课时 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　正弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

 [课时目标]

1.能借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.

2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.

1.正弦定理

2.正弦定理的常见变形

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).

(2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

(4)===.

(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.

3.三角形面积公式

(1)S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值的乘积的一半.

(2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长.

(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.

 

|微|点|助|解|

对正弦定理的理解

(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.

(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.

(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)正弦定理不适用于直角三角形. (　　)

(2)在△ABC中,若a>b,则必有sin A>sin B. (　　)

(3)在△ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B. (　　)

(4)正弦定理只适用于锐角三角形. (　　)

(5)在一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值. (　　)

答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√

2.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是 (　　)

A. B. 

C. D.

解析:选A　根据正弦定理得==.故选A.

3.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,A=,B=,则b= (　　)

A.1 B. 

C. D.2

解析:选B　由=,得=,

∴2sin =bsin ,即2×=b×,解得b==.

 

题型(一)　已知两角和一边解三角形

 [例1]　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.

解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.

由=,得c====4(+1).所以A=45°,c=4(+1).

 

　　|思|维|建|模|

已知任意两角和一边,解三角形的步骤

(1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角;

(2)求边:根据正弦定理,求另外的两边.

已知内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以上步骤求解.

　　[针对训练]

1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是              (　　)

A.4 B.12 

C.4 D.12

解析:选D　若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D.

2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　)

A.5 B.4 

C.5 D.4