6.4.3 第2课时 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　正弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 1.正弦定理 2.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 3.三角形面积公式 (1)S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值的乘积的一半. (2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长. (3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. |微|点|助|解| 对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形. (　　) (2)在△ABC中,若a>b,则必有sin A>sin B. (　　) (3)在△ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B. (　　) (4)正弦定理只适用于锐角三角形. (　　) (5)在一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　根据正弦定理得==.故选A. 3.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,A=,B=,则b= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　由=,得=, ∴2sin =bsin ,即2×=b×,解得b==. 题型(一)　已知两角和一边解三角形 [例1]　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c. 解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由=,得c====4(+1).所以A=45°,c=4(+1). 　　|思|维|建|模| 已知任意两角和一边,解三角形的步骤 (1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边:根据正弦定理,求另外的两边. 已知内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以上步骤求解. 　　[针对训练] 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是 (　　) A.4 B.12 C.4 D.12 解析:选D　若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D. 2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:选C　根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5. 题型(二)　已知两边及一角解三角形 [例2]　在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 解:∵=, ∴sin C===. ∵0°<C<180°,∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. ∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 　　[变式拓展] 　若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,试判断角A有几个值? 解:∵=,∴sin A===. ∵c=>2=a,∴C>A. ∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个. 　　|思|维|建|模| 1.已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角,注意是否有两组解; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边. 2.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下 项目 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 　　[针对训练] 3.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形 (　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析:选C　由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. 4.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,求边c的长. 解:由=,得sin B==. ∵a<b,∴B>A=30°,∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°. 此时,c===2. 当B=120°时, C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1. 综上所述,c=1或c=2. 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A. (2)若a=2,bsin C=csin 2B, 求△ABC的周长. 解:(1)法一:(辅助角公式) 由sin A+cos A=2,可得sin A+cos A=1,即sin=1,由于A∈(0,π)⇒A+∈,故A+=,解得A=. 法二:(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1,消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0⇔(2cos A-)2=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A=. (2)由题设条件和正弦定理得,bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,进而cos B=,得到B=, 于是C=π-A-B=,sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=, 由正弦定理==, 即==,解得b=2,c=+,故△ABC的周长为2++3. 　　|思|维|建|模| 利用正、余弦定理解三角形的注意点 　　正、余弦定理都是用来解三角形的,但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,应抓住两个定理的特点:正弦定理“边对角”,余弦定理“边夹角”,正确选择定理是解决此类题目的关键. 　　[针对训练] 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0,则△ABC的形状一定为 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析:选B　在△ABC中,sin A-sin B+=0, 则由正弦定理得(sin A-sin B)+=·(sin A-sin B)=0. 因为△ABC中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0⇒+1≠0. 所以sin A=sin B⇒a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B. 6.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　.  解析:在△ABC中,根据正弦定理,得=,即=,解得sin B=1.因为0°<B<120°,所以B=90°,所以C=30°,所以△ABC的面积S△ABC=AC·BC·sin C=2. 答案:2 学科网（北京）股份有限公司 $