6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　 [课时目标]1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用,培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力. 题型(一)　向量在平面几何证明问题中的应用 [例1]　如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 证明:法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0.又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系, 设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE. 　　|思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用向量共线定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 基底法 选取已知的不共线的两个向量作为基底,用基向量表示相关向量,转化为基底之间的向量运算进行证明 坐标法 先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明 　　[针对训练] 1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF. 证明:∵⊥,⊥,∴∥. 设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.于是=-=λ(-)=λ, ∴∥,即HG∥EF. 题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题 [例2]　如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 解:法一:设=a,=b,则=a-b,=a+b. ∵||=|a-b|= ===2,∴5-2a·b=4. ∴a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=. 法二:由平行四边形对角线长与边长之间的关系,得AC2+BD2=2(AD2+AB2). ∴AC2=2(12+22)-4=6,∴AC=. 　　|思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=. 　　[针对训练] 2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB; (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). 解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点, ∴D, ∴||= ,||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)∵E为CD的中点,∴E. 设F(x,0),则=,=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴=λ. 即(x,-m)=λ,则 解得λ=,x=,∴F, ∴||= , 即AF= . 题型(三)　平面向量在物理中的应用 [例3]　在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向. 解:设ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,vb=va-ω.如图所示. 设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°. 设||=150,则||=75(-). ∴||=||=||=75,||=75. 从而||=150,∠CAD=30°.∴|vb|=150,即没有风时飞机的航速为150 km/h,方向为北偏西60°. 　　|思|维|建|模| 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题; (2)建立以向量为主体的数学模型; (3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型; (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. 　　[针对训练] 3.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 解:如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度. ∵+=, ∴四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°, 即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°. 4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所做的功.(力的单位:牛顿,位移单位:米) 解:设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s.∵=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). ∴W1=F1·=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). 学科网（北京）股份有限公司 $