6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.4　平面向量的应用

6.4.1　平面几何中的向量方法

6.4.2　向量在物理中的应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

　 [课时目标]1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题.

2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用,培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力.

题型(一)　向量在平面几何证明问题中的应用

[例1]　如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.

证明:法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0.又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE.

法二:如图,建立平面直角坐标系,

设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.

 

　　|思|维|建|模|

平面几何中利用向量证明的常见问题及方法

(1)常见的利用向量证明的问题

①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;

②利用向量的模证明线段相等;

③利用向量的数量积为0证明线段垂直.

(2)常用的两个方法

 

　　[针对训练]

1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.

证明:∵⊥,⊥,∴∥.

设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.于是=-=λ(-)=λ,

∴∥,即HG∥EF.

 

题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题

[例2]　如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.

解:法一:设=a,=b,则=a-b,=a+b.

∵||=|a-b|= ===2,∴5-2a·b=4.

∴a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=.

法二:由平行四边形对角线长与边长之间的关系,得AC2+BD2=2(AD2+AB2).

∴AC2=2(12+22)-4=6,∴AC=.

 

　　|思|维|建|模|

利用向量法解决长度问题的策略

向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=.

　　[针对训练]

2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.

(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;

(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).

解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).

∵D为AB的中点,

∴D,

∴||= ,||=,

∴||=||,即CD=AB.

(2)∵E为CD的中点,∴E.