6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

56D% 向量夹角的最值$范围%问题 $!非零向量!""满足$!2" %!$"$"1!161"1%$"求!与"的夹角的最 小值! ! !通性通法$" !已知向量!""满足! %'8"$槡$ 78("1"1%""且'! 7"(,""则!""夹角#的 最小值为 '!!( -! ) 3 .! ) & /! ) , 0! ) $ !通性通法$" ¶, < _ ¤ 3 ¿ Z EfgF#$=Pð ñs¶,<_¤d 3 ` a Z =>? d % ! c " 1!11"1 3 ¿ Z Ef gF#$ ! 请同学们认真完成练案!""" !"' ! "#$%&45 35&5"!平面几何中的向量方法 35&5$!向量在物理中的应用举例 新课程标准解读 学科核心素养 会用向量方法解决简单的平面几何问题!力学问题以及其他实际问题! 数学建模 体会向量在解决数学和实际问题中的作用! 数学运算!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!在生活中"你是否有这样的经验&两个人共提一桶水"两人手臂夹角 越小越省力!在单杠上做引体向上运动"两臂夹角越小越省力! 问题 你能从数学的角度解释上述现象吗$ ! !提示" !提示" !ÂÃÄ23_¤A  k™4 12Å!à Ä23()Æ@4 _ ¤Æ@ÆǙ! $&( % -./0 知识点!平面向量的应用 "!用向量方法解决平面几何问题的)三步曲* '"(建立平面几何与向量的联系"用向量表示问题中涉及的几何元素"将平面几何问题转化为向 量问题) '$(通过向量运算"研究几何元素之间的关系) ',(把运算结果,翻译-成几何关系! $!向量在物理中的应用 '"(物理问题中常见的向量有力!速度!加速度!位移等) '$(向量的加减法运算体现在力!速度!加速度!位移的合成与分解中) ',(动量40是向量的数乘运算) '&(功是力-与所产生的位移7的数量积! 想一想 !用向量法如何证明平面几何中$" , %&$ + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!在 ( $"%中"若' #$$$%$6 #$$$%"(2' #$$$%$7 #$$$%"( %'"则 ( $"% '!!( -!是正三角形 .!是直角三角形 /!是等腰三角形 0!形状无法确定 "!某人在无风条件下骑自行车的速度为# " "风速为# $ '1# " 141# $ 1("则逆风行驶的速度的大小为'!!( -!# " 7# $ .!# " 6# $ /!1# " 171# $ 1 0! # " # $ #!在 ( $"%中"已知$'&""(""'C"#("%' 7&"C("则"%边的中线$&的长为!!!!! 5607%89: 56;% 平面向量在平面几何中的应用 方向一!利用向量证明平行或共线问题 !!如图"点)是平行四边形$"%&的中心","-分别在边 %&"$"上"且%, ,& % $- -" % " $ ! 求证&点,")"-在同一直线上! ! !方法总结"" !方法总结"" NO '4 /4 0 £’g M3íî E"FNO^]!’ çŸ3,<†ØÙ! ’çŸ3,<gMw E#FTO!,<' Gg’w E$FyâT4 Æ '4 /4 0 £’gM! $&! 方向二!利用向量证明线段垂直 "!'"(已知在 ( $"%中"点'是"%边上靠近点"的四 等分点"点(为$"中点"设$'与%(相交于 点*! 设#$$$$"和#$$$$%的夹角为 # "若=>? # % " & "且1 #$$$$%1%$ 1 #$$$$"1"求证& #$$$ %( , #$$$ $"! '$(如图"在正方形$"%&中"*是对角线"&'异于"" &(上的一点"四边形*,%-是矩形"用向量证明& *$ , ,-! ! !方法总结$" 方向三!利用向量解决长度问题 #!已知 ( $"%是边长为"的等边三角形"点)是 ( $"%所在平面上的任 意一点"则向量' #$$$)$7 #$$$)%( 6' #$$$)"7 #$$$)%(的模为!!!!!! ! !方法总结," !如图"在平行四边形$"%&中"已知$&%""$"%$"对角线 "&%$"求对角线$%的长! !方法总结$" ,<NOkÐOP ] '/08 3+ E"Fȵ¶=ç, <§ìwÉ¢ì QR #$ '/_ #$ 08wÊNO #$ '/ c #$ 08 3 Z s 5w ː  O P â T '/08w E#FYã¹»3k Ðj¤™š34 …¶ #$ '/4 #$ 083™š4 #$ '/ , E 2 " 4 3 " F4 #$ 08 , E2 # 4 3 # F4 Šu #$ '/c #$ 083Zs 54 × B " Ö O P â T '/08! !方法总结," Ï¢,<89de #$3· ,<¶kÐOP] 3de#$4 Æ,< de3¶84 =&Ï ¢¨ ¥ ± ’ µ ¶ ì 4 ,,<3;<b ðñ4 ¢G' 1!1 $ % ! $ ¶8wq&Y㙠š34 f[}W,< 3™š4 >‰G'„ È ! % E 2 4 3 F4 ¦ 1!1% 2 $ 63槡 $ ! $&) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!方向四利用向量解决夹角问题 $!'"(设两个向量!""满足1!1%""1"1%$! 若'$! 7"(2'! 6"( %7,"求!""的夹角 # ! '$(已知长方形$)%&中")$%,")%%$",为)%中点"*为$)上一 点"利用向量知识判断当点*在什么位置时" ' *,&%&#2! ! !方法总结&" !如图所示"在 ( $"%中" ' "$%%"$'2"$"%$%%,"点&在 线段"%上"且&%%$"&!求& '"($&的长) '$( ' &$%的大小! 方向五!利用向量求几何的最值问题 %!已知向量!"""#共面"且均为单位向量"!2" %'"求1! 6" 6#1的最 大值! 56<% 平面向量在物理中的应用 方向!力!速度和位移的合成 &!某河流南北两岸平行"一艘游船从南岸码头$出发航行到北岸"假设 游船在静水中的航行速度的大小为10 " 1%; ()*+"水流的速度的大小 为10 $ 1%& ()*+"设0 " 和0 $ 的夹角为 # ''2: # :";'2("北岸的点"在$ 的正北方向"游船正好到达"处时"=>? # % '!!( -! 槡, $ .!7 槡, $ /! " $ 0!7 " $ !方法总结&" kÐOP]_¤#$ 3¶8· Ï¢kÐ,<89O P]3_¤#$©4 ½¾&ÔkШ¥] 3¤Ìs!",<3 _¤4 „…_¤G' ¡l¶84 ‚ž#$ m'!¼+4 =& Ϣ쏐4 q&Ï ¢™š1!i¶8J L]4 Íüz{,< 3+,! $&* '!在风速为C#'槡3 7槡$ (()*+的西风中"飞机正以"#' ()*+的速度向 西北方向飞行"求没有风时飞机的飞行速度和航向! (!一个物体受到同一平面内三个力- " "- $ "- , 的作用"沿北偏东&#2的方 向移动了; )!其中1- " 1%$ <"方向为北偏东,'2)1- $ 1%& <"方向为 北偏东3'2)1- , 1%3 <"方向为北偏西,'2"求合力-所做的功! ! !方法总结#" !两人提起一个旅行包"旅行包所受的重力为."两人用力大小都为1-1"夹 角为 # "若1-1%1.1"则 # 的值为 '!!( -!,'2 .!3'2 /!B'2 0!"$'2 !方法总结#" kÐ,<iÎy3™ Ïô12Ï]W¢Ð Ñ4 ¢,<‹y‚  #$©4 …•–${ %Îy]3}t<¢ ',MNQR4 ŠÏ ¢,</3£¤¥ ¦‰kl²³¥ ¦ðñs>;+L  u! >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !两个大小相等的共点力- " "- $ "当它们夹角为B'2时"合力大小为$' <"则当它们的夹角为"$'2 时"合力大小为 '!!( -!&' < .!"'槡$ < /!$'槡$ < 0!"'槡, < "!在 ( $"%中"若#$$$$"2 #$$$"%6 #$$$$"$ %'"则 ( $"%的形状是 '!!( -!角%为钝角的三角形 .!角"为直角的直角三角形 /!锐角三角形 0!角$为直角的直角三角形 #!一物体受到相互垂直的两个力- " "- $ 的作用"两力大小都为#槡, <"则两个力的合力的大小为 '!!( -!# < .!#槡$ < /!#槡, < 0!#槡3 < $!在@A ( $"%中" ' $"%%B'2"$"%;""%%3"&为$%的中点"则=>? ' "&%% '!!( -!7 C $# .! C $# /!' 0! " $ %!在@A ( $"%中"斜边"%的长为$")是平面$"%内一点"点*满足#$$$)*% #$$$)$6" $ ' #$$$ $"6 #$$$ $%(" 则1#$$$$*1%!!!!! 请同学们认真完成练案!"$" $&+ 专项提升平面向量中的最值（范围）问题 即a1+1≤45，当且仪当a1=b1:2时，等号成立，所 例1：(-1,0)由点D是圆0外一点，可设D=AB(A>1), 则Oi=0+AB=AO+(1-A)0成.又因为C,0,D三点共 以口+1的最大值为号 线.令0而=-u0心(u>1),则ot=-人0-1-Ao(1>1. 例4：设a与b的夹角为6，由2a·b=a2b°知，21al1b1cos8= ,由基本不等式知，c0=立1aI·1b1≤ “>1),所以m=-4, 一，1=-1二4，则m+n=-A-1=A= 。1 (生)-分，当组仅当a1=1b1=1时等号度立， e(-10. 即m0≤子又0e[0,j,故0e[于小故a与b的夹角 跟踪调练1：7+45因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD, 4 的最小值是子 ∠DAB=90,AD=AB=4,CD=1.所以Ai=AC+Ci=A元- 跟踪训练4：C因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,a·b=b, 子店，所似市=m应+布=m宿+n(花-子函） c0s8=a·b 1三，又因 a、-b==1a-2r-方。 (m一子话+n花，由P,B,G三点共线得，m-子a+n=m 为22-42t+8✉2[(t-2)2+2]≥2[(2-万)2+2]=4. +子m>0).所以+-（信+）(+子） 所以0<s≤子，所以台的最小值为号 6.4 平面向量的应用 仅当3=4时.取等号).即六+的最小值为745 6.4.1平面几何中的向量方法 4 例2：C由题可知1B1=1,1武1=5，·BC=0.则C.B所 6.4.2 向量在物理中的应用举例 =(C成+B配)·(B厨+AF)=(C丽+B+AAB)·[B+(1- 教材梳理明要点 A)AC]=[(1-A)B-BC]·[B+(1-A)BC-(1-A)B] 新知初探 =[(1-A)B-BC]·[A+(1-A)BC=-2+4A-3= 知识点 -(A-2)2+1≤1.则C序·B的最大值为1. 想一想 跟踪训练2：D设e,=6 证明或计算A店.C品=0，从而得出AB⊥CD, 6=,,由于心于是与预习自测 1.c(C+C)·(C-Ci)=c-B=0,即1Cii=1C1 e,是互相垂直的单位向量=(e+9e:)广=+18e,CA=CB,则△ABC是等腰三角形 ·e,+81=82,P成，P元=(P+应)·(+心)=亦+2.C题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度， P,Ad+Pi.A店+A店·A花=82+A元·(-e1-9e)+店· 1 速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为 (-6-96,)=2-96-a6=82-9-=2- 1r,1-5 35 (0+）≤2-2√51·=76，当组仅当1=宁时等号成 2 c中点为D(是6)=(-子5）1= 立，.PB·P风的最大值为76 2 例3：C取BC的中点为D,连接AD,如 题型探究提技能 图所示.因为G为△ABC的重心，所 以花=子而=了(+花)，因为价 1:设=m,=,由常=之知E,F分捌是D,A极 ∠AC=号·花=-2.所以，花=d1m要 的三等分点，所以F同=成+行=号厨+之花=-号m+ -2,所以d=4,又1花1=号1店+花1= 之m+m)右m+宁，成：成，a=分记+号而 + 号前++2a店· 之m+m)-宁m=名m+号所以市：屁又0为币和 O正的公共点，故点E,O,F在同一直线上 √+C-4≥}21d1-4=子，当且仅当2：(1)因为=不-花=子话-花，所以云，店 ==2时取等号，故1的最小值为号 (2丽-)·店=破-店·花=子御-1· 跟踪训练3：号 将1a+b1=2两边平方并化简得(1a1+ s0=-11·211·=之1- Ib1P-a1b1=4,由基本不等式得1a1b1≤(a号1h) 部=01 2 :abD,故2(lal+1b2≤4，即(a+1b1户≤号 (2)解法一：设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一 点，可设D=xD派(0<A<1).则P=D-D亦=D-aD= -325 D(DA+B)=(1-A)DA-AAB. 限踪训练2：(1)设店=a,A心=b,则=店+而=A店+号配 又因为E=C本-C正=(1-A)C-ACi】 所以P,E京=[(1-A)Di-AA·[(1-A)C⑦-AC= =函+兮（衣-）=号函+记=子知+宁 (1-A)Di.C⑦-(1-A)aDi.C2-A(1-A)A店.面+ 亦=（知+）=+2x+手×9+2 X2AB.Ci=-A(1-A)a2+A(1-A)a2=0. 因此P⊥E了，故PA⊥EE x号x3x3×s120°+号×9=3,40=万 解法二：以D为原点，DC,DA所在直线分 (2)设∠DAC=日，则向量A与AC的夹角为a 别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角 /2 坐标系。 AD.AC 005= 设正方形边长为a,由于P是对角线D IADIIACI 5×3 35 上的一点，设DP=ADB=EAa(0<A< 2 I),则A(0,a),P(Aa,Aa),E(a,a),D可 3×9+ ×3×3×c0s1200 =0,∴.0=90°，即∠DAC=90° F(Aa.0). 35 于是P=(-Ae,a-Aa),E=(Aa-a,-Aa), 例5：因为向量a,b,c共面，且均为单位向量，a·b=0,可设a= 因此P.E=-Aa(Aa-a）-(a-Aa)Aa=-A2a2+a2 (1,0),b=(0,1),c=(x,y),如图，所以1a+b=2,当c与a +b同向时，此时1a+b+c1有最大值，为2+1. Aa2+A2a2=0,因此P⊥E序.故PA⊥EF 例3：5因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以∠BCA= 60°，1C1=1C丽1=1，所以(0-0元)+(0成-0元)=C+ C应，所以1(0-0元)+(0i-0元)1=1+C1= /(C+C2)2=√1ci2+1ci12+21Ci·1C·ccs60 =√+1+2×1x1×行=E 跟踪训练1：设A⑦=a,A形=b,则B丽=a-b,A元=a+b 例6：D设船的实际速度为v,则v=v+ 而1Bd1=1a-b1=a-2a·b+b=+4-2a·b= 北岸的点B在A的正北方向，游船正好到 达B处，则v⊥，所以v·=0,即(1+ /5-2a…b=2.① 2)·3=111·121·c0s0+12= AC2=1a+b12=a2+2a·b+b2=lal2+2a·b+lb2=1+ 4+2a·b. 32s0+16=0,解得cs0=一7，故选D 由①得2a·b=1..A亿12=6..1A记=6，即AC=6 例7：设风速为”，有风时飞机的飞行速度为 例4：(1)(2a-b)·(a+b)=-3 ”,无风时飞机的飞行速度为，则”。=v。+%,且，”，%可 21a2+a·b-1b2=-3 构成三角形（如图所示）， 又.lal=1,lb1=2 Un B 六2+a·b-4=-3即a·b=-1 a·b。 1 六cos0=1amb=2 又0eE0,]0=号 1=1m1=150.1C31=1.1=75(6-2),1花1 =l. (2)如图，建立平面直角坐标系，则E(1,0),D(2,3), 作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥AD于E, 期∠B4D=45°.1C⑦1=BI=1E=752, .DA1=1DE1+1E1=1CB1+1E1=75(6-万)+75,2 =756, 从雨am∠CAD=1_75巨.点 1D4175631 .∠CAD=30°，l4C1=1502,1r1=1505, :.没有风时飞机的飞行速度为150万km/h,航向为北偏 西60°. 设P(0.b)(0≤b≤3)， 例8：如图所示，以0为原点，正东方 则Ed=(1.3).E=(-1,b). 向为x轴的正方向，正北方向为y cos∠PED= EP ED -1+3b 轴的正方向建立平面直角坐标系， E·E 而· 2 则F=(1,5),F2=(25,2), 整理得2b2-3b-2=0, F=(-3,35),所以F=E+ 解得b=26=-之合去)， F+F=(25-2,2+43). 因为位移s=(4万，4万)，所以合力F所做的功W=F·s ∴.当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED=45 (25-2,2+45)·(42,42)=246(J. 326 故合力F所做的功为2461 又因为osA=+2-d_8+(6+22-(252.1 跟踪训练3：D设O=F,O凉=F,O记=-G,由向量加法法则 2×22×(6+2) 2 可得O元=Oi+O正，当1F1=1FI=1G1时，△OAC为正三角 所以A=60°.C=180°-(4+B)=75. 形.∠A0C=60°，从而∠A0B=120°.故选D 跟踪训练1：(1)D(2)1003或503(1)cosC=-cs(A+ 随堂检测重反馈 B)=-子又由余弦定理得2=。2+8-2 abemsC=9+4-2 1.B设夹角90°时，合力为F,1FI=IF1=1F1os45°= 102N,当8=120时，由平行四边形法则知：|F。1=1F1= x3×2x（）=7,所以e=.放选D 1F2I=10W2N. (2)在△4BC中，6=505，c=150,B=30°，由余弦定理得6= 2.D在△ABC中，A店.B成+A应=A店.(A店+BC=店.A亡= 0,店1A花.A=受，则△ABC为直角三角形，故选D d+e-2amB,(50万)=d2+1502-2×10×号，d2 3.D两个力的合力的大小为IF+FI=F+月+2F,·F 1503a+15000=0,(a-1005)(a-505)=0,解得a= 1003或a=503. =5J6(N). 4B如图建立平面直角坐标系，则B(0, 例2：由余弦定理的推论，得csA=公+c-d。 0).A(0.8).C(6.0).D(3.4).Di= A (6+25)2+(45)-(26)2. (-3,-4),DC=(3.-4).又∠BDC为 2×45×(6+25) 2 D成，DC的夹角，·cos∠BDC= D Ae(0,π)，A=I Di.D元--9+16=7 6 1Di11DC5×5=25 C=+-C.262+(6+2-(4月2. 2ab 2×26×(6+23) 2 510m=0成+之(+d0.0B CE(0.m)...C= 41 =之（丽+花），市=之（丽+花），AP为R△AC斜边 BC的中线=1. 8=-4-C=后-号-得 6.4.3 余弦定理、正弦定理 跟踪训练2：(1)C(2)见解析(1)a2-2=2-26c,由余弦 第一课时余弦定理 定理的推论得mA+4号.放A=45故选C 26c 教材梳理 明要点 新知初探 (2)由a:6:c=2:6:(3+1),令a=2k,b=6k,e=(3 知识点一 +1)k(k>0) 平方的和积的两倍b2+c2-2 becos A c2+a2-2cac0sB a+b-2abcos C 由余弦定理的推论，得cs4=+c-d_6+(5+1)2-4 2be 2×6×(5+1) 知识点二 元素其他元素 F2A=459 预习自测 1.(1)V(2)×(3)×(2)已知两边及一边的对角，也可以 sB=2+c2-B_4+(5+12-6.1 2ac 利用余弦定理解三角形. 2x2×(万+1)=7B=60 .C=1809-A-B=180°-45°-60°=75 (3)若a<b+c,侧△ABC不一定是锐角三角形，因为a不 定是最大边， 例3：(1)：A+B+C=180°，∴sinC=sin(A+B) 2D闲为0+6<2，由余弦定理可得osC=2+-C<0, .2cos Asin B=sin C. 2ab .2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B. .'sin Acos B eos Asin B=0,.'.sin(A -B)=0. 又由Ce(0,m),所以C∈（受，m）,所以△ABC是钝角三角 0°<A<180°，0°<B<180°， 形.故选D. ,∴.-180°<A-B<180°.∴，A-B=0°.即A=B. 3.D由余弦定理得：c=√92+(23)2-2×9×23×cos150 (a+b+c)(a+b-c)=3ab. =147=73.故选D. dt=ab...cos C=2 1 4150°由余弦定理的推论，得cB=4+c二-E.1+3-7 0°<C<180°，∴.C=60°，.△ABC为等边三角形. 2ac 2×1×5 =-5又0P<B<180,B=150 (2)由acos B+a0asC=b+e,结合余弦定理得a.+c-正 2ae 21 +a.日+-c=b+e,即2+-B++-C=b+e,整 题型探究提技能 2ab 2e 2b 理，得(b+c)(a2-2-c2)=0. 例1：(1)由余弦定理得：a=/60+(60,5)'-2×60×605×c0s 6 b+c≠0，.a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形. =√4×60-3×602=60(cm. 跟踪训练3：A因为2 acos B=c,所以由余弦定理得2a· a2+c2-6 (2)根据余弦定理得.2=a2+2-2 ccos B=(25)2+(6 =c,所以a2+c2-6=c2,所以a2=6,因为a>0. 2ac +万)2-2×25×(6+2)×0w45°=8，所以b=2E. b>0,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形. -327