6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.

2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.

　　设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有:

 

|微|点|助|解|

关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点

(1)两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).

(2)公式a·b=|a||b|cos<a,b>与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.

(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.

 

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0°. (　　)

(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔x1x2-y1y2=0. (　　)

(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角. (　　)

答案:(1)×　(2)×　(3)×

2.已知=(3,-4),则||等于 (　　)

A.3 B.4 

C. D.5

解析:选D　||==5.

3.若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是 (　　)

A.12 B.3 

C.-3 D.-12

解析:选D　∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12.

4.已知向量a=(-4,3),b=(5,12),则a·b= (　　)

A.52 B.-3

C.-10 D.16

解析:选D　由已知得a·b=-20+36=16.故选D.

5.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为　　　　. 

解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==.

答案:

题型(一)　向量数量积的坐标表示

[例1]　(1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= (　　)

A.12 B.0 

C.-3 D.-11

(2)已知矩形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·等于 (　　)

A.20 B.15

C.9 D.6

解析:(1)∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),

∴a+2b=(-5,6).∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.

(2)因为四边形ABCD为矩形,建立平面直角坐标系,如图.A(0,0),M(6,3),N(4,4).则=(6,3),=(2,-1),·=6×2-3×1=9.

答案:(1)C　(2)C

 

　　|思|维|建|模|　数量积坐标运算的技巧

(1)进行向量的数量积运算时,通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.