6.3.5平面向量数量积的坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.3.5平面向量数量积的坐标表示【导学】【解析】 【导学目标】 1.会用坐标表示平面向量的数量积. 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角. 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系. 【重点】用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角. 【难点】利用坐标判断向量的垂直关系. 【知识要点】 平面向量的模 |a|＝= 平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 向量b在a方向上的射影 向量b在a方向上的 射影向量 两点间距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 【典型例题】 题型一 平面向量数量积理解 【例1-1】设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【例1-2】(多选)设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　) A． (·)－(·)＝0 B．||－||<|－| C．(·)－(·)不与垂直 D．(3＋2)·(3－2)＝9||2－4||2 【答案】BD 【例1-3】(多选)已知平面向量＝(1,2)，＝(－2,1)，＝(2，t)，下列说法正确的是(　　) A． 若(＋)∥，则t＝6 B．若(＋)⊥，则t＝ C．若t＝1，则cos〈，〉＝ D．|＋|<3 【答案】BC 【例1-4】已知向量，=(cosθ,sinθ)（0⩽θ⩽π），则下列说法正确的是（ ） A.若∥，则​ B.若⊥，则θ的值为​ C.⋅的取值范围为[−3,2] D. 存在θ，使得∣−∣=∣∣+∣∣ 【答案】AB 题型二 平面向量数量积的坐标运算 【例2-1】已知与同向，＝(1,2)，·＝10. (1) 求的坐标； (2)若＝(2，－1)，求(·)及(·). 【答案】(1)=(2,4);(2)(·)=(0,0),(·)=(20,-10). 【例2-2】若＝(2,3)，＝(－1，－2)，＝(2,1)，则(·)·＝____________； ·(·)＝____________. 【答案】(-16,-8),(-8,-12). 【例2-3】(衔接教材P34L10)若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC是什么形状？证明你的猜想. 【答案】△ABC是直角三角形. 题型三 向量的模的问题 【例3-1】向量与向量＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为(　　) A．(－7,8)　　　 　 　 　B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6) 【答案】D 【例3-2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． 【答案】||,D 【例3-3】在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________． 【答案】10 题型四 向量的夹角与垂直问题 【例4-1】已知＝(1，－2)，＝(1，λ)，且与的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2，) B．(，＋∞) C．(－2，)∪(，＋∞) D．(－∞，) 【答案】A 【例4-2】已知向量＝(－1,2)，＝(m,1)．若向量2＋3与垂直，则m＝________. 【答案】 【例4-3】已知＝(3，－1)，＝(1，－2)，则与的夹角为(　　) A. B. B. C. D. 【答案】B 【例4-4】己知，的夹角为， （1） 求的值; （2） 求与夹角. 【答案】(1);(2). 例4-5】已知＝(1,2)，＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)与的夹角为直角； (2)与的夹角为钝角； (3)与的夹角为锐角． 【答案】(1);(2);(3). 【例4-6】设向量与的夹角为θ，且＝(3,3)，2－＝(－1，－1)，cosθ＝________. 【答案】1 【例4-7】在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1， 且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点． (1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量＝，＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求·的最小值及对应的θ值． 【答案】(1);(2)·的最小值及对应的θ值. ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.3.5平面向量数量积的坐标表示【导学】 【导学目标】 1.会用坐标表示平面向量的数量积. 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角. 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系. 【重点】用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角. 【难点】利用坐标判断向量的垂直关系. 【知识要点】 平面向量的模 |a|＝= 平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 向量b在a方向上的射影 向量b在a方向上的 射影向量 两点间距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 【典型例题】 题型一 平面向量数量积理解 【例1-1】设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【例1-2】(多选)设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　) A． (·)－(·)＝0 B．||－||<|－| C．(·)－(·)不与垂直 D．(3＋2)·(3－2)＝9||2－4||2 【例1-3】(多选)已知平面向量＝(1,2)，＝(－2,1)，＝(2，t)，下列说法正确的是(　　) A． 若(＋)∥，则t＝6 B．若(＋)⊥，则t＝ C．若t＝1，则cos〈，〉＝ D．|＋|<3 【例1-4】已知向量，=(cosθ,sinθ)（0⩽θ⩽π），则下列说法正确的是（ ） A.若∥，则​ B.若⊥，则θ的值为​ C.⋅的取值范围为[−3,2] D. 存在θ，使得∣−∣=∣∣+∣∣ 题型二 平面向量数量积的坐标运算 【例2-1】已知与同向，＝(1,2)，·＝10. (1) 求的坐标； (2)若＝(2，－1)，求(·)及(·). 【例2-2】若＝(2,3)，＝(－1，－2)，＝(2,1)，则(·)·＝____________； ·(·)＝____________. 【例2-3】(衔接教材P34L10)若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC是什么形状？证明你的猜想. 题型三 向量的模的问题 【例3-1】向量与向量＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为(　　) A．(－7,8)　　　 　 　 　B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6) 【例3-2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． 【例3-3】在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________． 题型四 向量的夹角与垂直问题 【例4-1】已知＝(1，－2)，＝(1，λ)，且与的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2，) B．(，＋∞) C．(－2，)∪(，＋∞) D．(－∞，) 【例4-2】已知向量＝(－1,2)，＝(m,1)．若向量2＋3与垂直，则m＝________. 【例4-3】已知＝(3，－1)，＝(1，－2)，则与的夹角为(　　) A. B. B. C. D. 【例4-4】己知，的夹角为， （1） 求的值; （2） 求与夹角. 例4-5】已知＝(1,2)，＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)与的夹角为直角； (2)与的夹角为钝角； (3)与的夹角为锐角． 【例4-6】设向量与的夹角为θ，且＝(3,3)，2－＝(－1，－1)，cosθ＝________. 【例4-7】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1， 且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点． (1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量＝，＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求·的最小值及对应的θ值． ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $