6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题. 1.平面向量数乘运算的坐标表示 已知a=(x,y),那么λa=(λx,λy),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. |微|点|助|解| 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).这是代数运算,由于不需引进参数λ,从而简化了代数运算. (3)a∥b⇔=,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且y1≠0,y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线. (　　) (2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. (　　) (3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√ 2.若a=(2,1),b=(1,0),则3a+2b的坐标是 (　　) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3) D.(0,-1) 答案:C 3.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是 (　　) A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反 解析:选D　∵a=-2b,∴a与b方向相反.故选D. 4.已知a=(-3,2),b=(6,y),且a∥b,则y=　　　.  解析:∵a∥b,∴=,解得y=-4. 答案:-4 题型(一)　平面向量数乘运算的坐标表示 [例1]　已知a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b. 解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=. 　　|思|维|建|模| 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 　 　　[针对训练] 1.已知点A(2,3),B(1,4),且=-2,则点P的坐标是 (　　) A.(0,5) B. C.(3,2) D.(-3,2) 解析:选A　设O为坐标原点,=+=-2=-2(-),整理得=2-=(2,8)-(2,3)=(0,5).故选A. 2.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c等于 (　　) A.(-23,-12) B.(23,12) C.(7,0) D.(-7,0) 解析:选A　由3a-2b+c=0,得c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12).∴c=(-23,-12). 题型(二)　平面向量平行(共线)的判定 [例2]　已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,=,求证:∥. 证明: 设E(x1,y1),F(x2,y2). 由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1), ∴==,==. ∴(x1,y1)-(-1,0)=,(x2,y2)-(3,-1)=.∴(x1,y1)=,(x2,y2)=. ∴=(x2,y2)-(x1,y1)=. ∵4×-(-1)×=0,∴∥. 　　|思|维|建|模| 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2))直接判断a与b是否平行. 　　[针对训练] 3.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?　 解:因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 则2×6-3×4=0,所以∥.所以与共线. 又=,所以与的方向相同. 题型(三)　利用向量共线求参数 [例3]　(1)已知向量a=,b=,c=(-3,3).若非零实数m,n满足∥,则= (　　) A.3 B. C.- D.-3 (2)在平面直角坐标系中,向量=(1,4),=(2,3),=(x,1),若A,B,C三点共线,则x的值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:(1)由题意可知,na+b=n(1,-1)+(-1,2)=(n-1,-n+2),b-mc=(-1,2)-m(-3,3)=(-1+3m,2-3m).因为(na+b)∥(b-mc),所以(n-1)(2-3m)=(-n+2)(-1+3m),整理得n=3m,即=3. (2)由A,B,C三点共线,得=λ+μ(λ+μ=1),即(x,1)=λ(1,4)+μ(2,3)=(λ+2μ,4λ+3μ),则 解得 答案:(1)A　(2)C 　　|思|维|建|模| 利用向量共线的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. [提醒]　当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值. 　　[针对训练] 4.已知a=(2,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka+b与a-2b共线; (2)若=a+3b,=a-mb,且A,B,C三点共线,求m的值. 解:(1)∵a=(2,0),b=(2,1),∴ka+b=(2k+2,1),a-2b=(-2,-2).又ka+b与a-2b共线, ∴-2(2k+2)-1×(-2)=0,即k=-. (2)∵=a+3b=(8,3), =a-mb=(2-2m,-m), 又A,B,C三点共线, ∴-8m-3(2-2m)=0,即m=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $