6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算.

2.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题.

1.平面向量数乘运算的坐标表示

已知a=(x,y),那么λa=(λx,λy),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

2.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.

|微|点|助|解|

正确理解向量平行的条件

(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.

(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).这是代数运算,由于不需引进参数λ,从而简化了代数运算.

(3)a∥b⇔=,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且y1≠0,y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.

 

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线. (　　)

(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. (　　)

(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. (　　)

答案:(1)√　(2)√　(3)√

2.若a=(2,1),b=(1,0),则3a+2b的坐标是 (　　)

A.(5,3) B.(4,3)

C.(8,3) D.(0,-1)

答案:C

3.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是 (　　)

A.不共线 B.相等

C.方向相同 D.方向相反

解析:选D　∵a=-2b,∴a与b方向相反.故选D.

4.已知a=(-3,2),b=(6,y),且a∥b,则y=　　　. 

解析:∵a∥b,∴=,解得y=-4.

答案:-4

题型(一)　平面向量数乘运算的坐标表示

[例1]　已知a=(-1,2),b=(2,1),求:

(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.

解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).

(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).

(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.

　　|思|维|建|模|

平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标,则直接应用向量数乘的运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

 

　

　　[针对训练]

1.已知点A(2,3),B(1,4),且=-2,则点P的坐标是 (　　)

A.(0,5) B. 

C.(3,2) D.(-3,2)

解析:选A　设O为坐标原点,=+=-2=-2(-),整理得=2-=(2,8)-(2,3)=(0,5).故选A.

2.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c等于 (　　)

A.(-23,-12) B.(23,12)

C.(7,0) D.(-7,0)

解析:选A　由3a-2b+c=0,得c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12).∴c=(-23,-12).

 

题型(二)　平面向量平行(共线)的判定

[例2]　已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,=,求证:∥.

证明: 设E(x1,y1),F(x2,y2).

由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),

∴==,==.

∴(x1,y1)-(-1,0)=,(x2,y2)-(3,-1)=.∴(x1,y1)=,(x2,y2)=.