6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 【学习目标】 　　1.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的数乘运算. 　　2.能用坐标表示平面向量共线的条件. ◆ 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 设a=(x,y),则λa=　　　　(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.   【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),若c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为-1,2. (　 ) (2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11). (　 ) ◆ 知识点二　平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则向量a,b共线的充要条件是　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. (　 ) (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. (　 ) (3)已知A(1,-3),B,且A,B,C三点共线,则C点的坐标可能是(9,1). (　 ) (4)已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a=-2b. (　 ) ◆ 探究点一　向量的数乘运算 例1 已知a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b. 变式 (1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(2,-1),则c=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-a+b B.a-b C.-a-b D.a+b (2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则3+2=　　　　,-2=　　　　.  [素养小结] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行,解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. ◆ 探究点二　向量共线的判定及应用 例2 (1)下列各组向量是平行向量的有　　　　.(填序号)  ①a=,b=(-2,-3); ②a=(0.5,4),b=(-8,64); ③a=(2,3),b=(3,4); ④a=(2,3),b=. (2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 变式 (1)已知向量a=(2,-1),b=(-1,3),则下列向量与2a+b平行的是 (　 ) A. B.(1,-3) C.(1,-2) D. (2)[2025·济南一中高一期中] 已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),m=2a+b,n=ka-2b.若m与n共线,则实数k的值为　　　　.  [素养小结] 向量a=(x1,y1),b=(x2,x2)共线的判定方法 (1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解. 拓展 已知直角坐标平面上的四点A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求证:四边形ABCD是梯形. ◆ 探究点三　三点共线的判定及应用 例3 (1)[教材P32例8] 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断A,B,C三点之间的位置关系. (2)设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线? 变式 在平面直角坐标系中,已知A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为　　　　　　.  [素养小结] 三点共线的条件以及判定方法 (1)已知A,B,C三点共线时可转化为∥,利用向量共线的条件求解. (2)利用两个非零向量平行证明三点共线时需分两步完成: ①证明两个非零向量平行;②证明两个非零向量有公共点. ◆ 探究点四　线段定比分点的坐标及应用 例4 [教材P32例9] 设P是线段P1P2上的一点,点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1)当P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标. 变式 (1)[2025·广东茂名高一期中] 已知点A(1,2),B(4,-3),点M在线段AB上,且||=||,则点M的坐标为 　　　　.  (2)[2025·大连二十四中高一期末] 已知平面直角坐标系内点A(m+1,-3m-1),B(-2,m+2),m>0,若O(O为坐标原点),A,B三点共线,则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为　　　　.  [素养小结] 涉及定比分点或者线段相关比例问题的两种思路: (1)利用向量共线定理列方程组求解; (2)利用定比分点坐标公式求解. 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 【课前预习】 知识点一 (λx,λy) 诊断分析 (1)√　(2)√　[解析] (1)由解得 知识点二 x1y2-x2y1=0 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=. 变式　(1)B　(2)(11,13)　(-7,-14)　[解析] (1)设c=xa+yb,即(2,-1)=x(1,1)+y(-1,1)=(x-y,x+y),则解得所以c=a-b.故选B. (2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),∴=(1,5),=(4,-1),=(-5,-4),∴3+2=3(1,5)+2(4,-1)=(3+8,15-2)=(11,13),-2=(-5,-4)-2(1,5)=(-5-2,-4-10)=(-7,-14). 探究点二 例2　(1)①　[解析] ①∵×(-3)-×(-2)=-+=0,∴a∥b.②∵0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,∴a,b不平行.③∵2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴a,b不平行.④∵2×2-3×=4+4=8≠0,∴a,b不平行.故填①. (2)解:方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,使ka+b=λ(a-3b). 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得解得∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向. 方法二:由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-,∴ka+b==-(a-3b),故ka+b与a-3b反向. 变式　(1)D　(2)-4　[解析] (1)因为a=(2,-1),b=(-1,3),所以2a+b=(3,1).若向量c=(x,y)满足3y-x=0,则该向量与2a+b平行,验证易知D符合题意.故选D. (2)因为a=(1,-2),b=(-1,1),m=2a+b,n=ka-2b,所以m=(1,-3),n=(k+2,-2k-2),又m与n共线,则1×(-2k-2)=-3×(k+2),解得k=-4. 拓展　证明:由已知得=(4,3)-(1,0)=(3,3),=(0,2)-(2,4)=(-2,-2), ∵3×(-2)-3×(-2)=0,∴与共线. =(0,2)-(1,0)=(-1,2),=(2,4)-(4,3)=(-2,1),∵(-1)×1-2×(-2)≠0, ∴与不共线,∴四边形ABCD是梯形. 探究点三 例3　解:(1)在平面直角坐标系中,作出A,B,C三点. 观察图形,我们猜想A,B,C三点共线.下面来证明. 因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-4×3=0,所以∥. 又直线AB,直线AC有公共点A,所以A,B,C三点共线. (2)若A,B,C三点共线,则,共线,∵=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11. 变式　(-∞,2)∪(2,+∞)　[解析] 若A,B,C三点能构成三角形,则与不共线,由题知=(-3,m+1).若与共线,则有-3(m-1)=-1(m+1),解得m=2,所以若与不共线,则m≠2,故实数m的取值范围为(-∞,2)∪(2,+∞). 探究点四 例4　解:(1)如图,由向量的线性运算可知, =(+)=. 所以点P的坐标是. (2)如图,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即=或=2. 如果=(如图①), 那么=+=+=+(-)=+=, 即点P的坐标是. 同理,如果=2(如图②),那么点P的坐标是. 变式　(1)　(2)(2,-5)　[解析] (1)设M(x,y),因为点M在线段AB上,且||=||,即=,所以(x-1,y-2)=(4-x,-3-y),即 解得即点M的坐标为. (2)∵A(m+1,-3m-1),B(-2,m+2),∴=(m+1,-3m-1),=(-2,m+2).∵O,A,B三点共线,∴(m+1)(m+2)+2(-3m-1)=0,解得m=3或m=0(舍去),∴=(4,-10),=(-2,5),∴=-=(-6,15).设线段AB上靠近点A的三等分点为C,则=+=(2,-5),∴C(2,-5). 学科网（北京）股份有限公司 $