6.3.5平面向量的数量积讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的数量积 【知识梳理】 一、两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 二、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 三、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 四、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 五、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 【学习目标】 1. 理解实向量的数量积的物理意义，能够计算两个向量的数量积 2. 掌握向量数量积的运算律与常用公式 3. 数形结合解决向量综合问题 【例题分析】 例1.（1）若与是相反向量，且=3，则等于（ ） A．9 B．0 C．-3 D．-9 （2）已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 巩固. 若的夹角为，则___________. 例2.已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求： （1）(＋)·(－)； （2）|－|． 巩固. 1. 若平面向量，满足，，，则___________． 2. 已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______． 3. 已知向量，满足，，，则与的夹角为__________. 例3.已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________． 巩固. 已知向量，，若，则向量在方向上的投影为______. 例4.已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 巩固. 设圆C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值． 【课时训练】 一、单选题 1．下面给出的关系式中正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤. A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，则的值不可能是（ ） A．0 B． C．2 D．3 3．若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知均为单位向量，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A．1 B． C．2 D．或2 6．已知，的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ） A．15 B． C．14 D．16 7．若向量，满足且，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 8．已知，如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 9．若向量满足：则（ ） A．2 B． C．1 D． 10．在同一平面内，线段为圆的直径，动点满足，则点与圆的位置关系是（ ） A．点在圆外部 B．点在圆上 C．点在圆内部 D．不确定 11．在边长为1的等边三角形中，设，则（ ） A． B．0 C． D．3 二、填空题 12．已知两个单位向量的夹角为，若向量，则_____________. 13．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________. 14．已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________. 15．已知，且，则与的夹角的取值范围是__________. 16．已知，，则与的夹角为 . 17．已知向量与的夹角为，且，则________. 18．已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________. 19．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 学科网（北京）股份有限公司 $$