6.3.2-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算,会用点的坐标求向量的和与差. 3.能根据平面向量加减运算的坐标表示求点的坐标. 逐点清(一)　平面向量的正交分解及坐标表示　　 [多维理解] 1.正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). 3.特殊向量表示 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 4.向量与坐标的关系 设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. |微|点|助|解| 点的坐标与向量的坐标 (1)向量的坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标才与其终点的坐标相等.如:点A的位置向量的坐标(x,y),也就是点A的坐标(x,y);反之,点A的坐标(x,y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y). (3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个. (4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若O为坐标原点,且=(2,-1),则点A的坐标为(2,-1). (　　) (2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点的向量的坐标为(2,-1). (　　) (3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为 (　　) A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2) C.(4,3) D.(4,-3) 解析:选D　∵e1,e2是互相垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,∴a=(4,-3). 3.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则= (　　) A.(-5,13) B.(-5,12) C.(-12,13) D.(-12,5) 解析:选D　向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所示,所以=(-12,5). 4.如图,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标. 解:由题意知A(0,0),点B,D分别是30°角、120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=, ∴B,x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=, ∴D.∴=,=. 逐点清(二)　平面向量加、减运算的坐标表示 [多维理解] 　　设a=(x1,y1),b=(x2,y2). 项目 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2,y1-y2) 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1) |微|点|助|解| (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变. (2)由向量坐标的定义知,相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔ [微点练明] 1.(多选)已知a=(1,3),b=(-2,1),下列计算正确的是 (　　) A.a+b=(-1,4) B.a-b=(3,2) C.b-a=(1,2) D.-a-b=(1,2) 解析:选AB　因为a=(1,3),b=(-2,1),所以a+b=(-1,4),故A正确;a-b=(3,2),故B正确;b-a=(-3,-2),故C错误;-a-b=(1,-4),故D错误. 2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= (　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析:选A　法一:设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),所以从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A. 法二:=(3,2)-(0,1)=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 3.已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=c,=b. (1)求a+b-c; (2)求点M,N的坐标及向量的坐标. 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)a+b-c=(5,-5)+(-6,-3)-(1,8)=(-2,-16). (2)设O为坐标原点.∵=-=c, ∴=c+=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), ∴M(-2,4).又∵=-=b,∴=b+=(-6,-3)+(-3,-4)=(-9,-7), ∴N(-9,-7),∴=-=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). 逐点清(三)　平面向量坐标运算的应用 [典例]　已知点A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ).若=+(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在第一、三象限的角平分线上; (2)点P在第三象限内. 解:设点P的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+=(5,4)-(2,3)+(5λ,7λ)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ). ∵=+,且与不共线, ∴则 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上, 则5+5λ=4+7λ,∴λ=. (2)若点P在第三象限内,则 ∴λ<-1. 　　|思|维|建|模| 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等. (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值. 　　[针对训练] 已知点O(0,0),A(1,2). (1)若点B(3t,3t),=+,则t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限? (2)若B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t值;若不能,请说明理由. 解:(1)由题意得=+=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t). 若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-. 若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-. 若点P在第二象限,则解得-<t<-,即t的取值范围为. (2)不能.理由如下: =(1,2),=-=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形,则=, ∴该方程组无解. 故四边形OABP不能成为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $