6.3.2-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

2.会用坐标表示平面向量的加、减运算,会用点的坐标求向量的和与差.

3.能根据平面向量加减运算的坐标表示求点的坐标.

逐点清(一)　平面向量的正交分解及坐标表示　　

[多维理解]

1.正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).

3.特殊向量表示

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

4.向量与坐标的关系

设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.

|微|点|助|解|

点的坐标与向量的坐标

(1)向量的坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标才与其终点的坐标相等.如:点A的位置向量的坐标(x,y),也就是点A的坐标(x,y);反之,点A的坐标(x,y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标.

(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y).

(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.

(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.

[微点练明]

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)若O为坐标原点,且=(2,-1),则点A的坐标为(2,-1). (　　)

(2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点的向量的坐标为(2,-1). (　　)

(3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. (　　)

答案:(1)√　(2)×　(3)√

2.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为 (　　)

A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2)

C.(4,3) D.(4,-3)

解析:选D　∵e1,e2是互相垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,∴a=(4,-3).

3.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则= (　　)

A.(-5,13) B.(-5,12)

C.(-12,13) D.(-12,5)

解析:选D　向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所示,所以=(-12,5).

4.如图,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标.

解:由题意知A(0,0),点B,D分别是30°角、120°角的终边与单位圆的交点.

设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,

∴B,x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=,

∴D.∴=,=.

 

逐点清(二)　平面向量加、减运算的坐标表示

[多维理解]

　　设a=(x1,y1),b=(x2,y2).