6.2.4 第2课时 平面向量数量积的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　平面向量数量积的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.进一步掌握数量积的运算,掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.

2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题.

题型(一)　向量的数量积

1.平面向量数量积的运算律

 

2.常用结论

(1)(a+b) 2=a2+2a·b+b2.

(2)(a-b) 2=a2-2a·b+b2.

(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2.

(4)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a.

[例1]　正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　　)

A. 　　B.3 

C.2 　　D.5

解析:选B　由题意知,=+=+,=+=-+,

所以·=·=||2-||2=4-1=3,故选B.

 

　　|思|维|建|模|

求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.

 

　　[针对训练]

1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·= (　　)

A.2 B.4 

C.3 D.

解析:选B　根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0.又因为= ,||=2,

所以·=·=||||cos∠ADB=×2×||×=4.故选B.

2.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=　　　　. 

解析:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=2(a·b+b·c+c·a)+9=0⇒a·b+b·c+c·a=-.

答案:-

 

题型(二)　向量的模

[例2]　已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|.

解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10.

所以4a2+4a·b+b2=10.

又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1,

所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10.

整理得|b|2+2|b|-6=0,

解得|b|=或|b|=-3(舍去).

 

|思|维|建|模|

求向量模的一般思路及常用公式

(1)求向量模的常见思路

根据a2=|a|2,求|a|2,再开方计算|a|.

(2)常用公式

①(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2;

②|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.

　

　　[针对训练]

3.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 (　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

解析:选C　∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20.∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|.

∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C.

4.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=　　　　. 

解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7,所以|c|=.

答案: