6.2.4 第2课时 平面向量数量积的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　平面向量数量积的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步掌握数量积的运算,掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题. 题型(一)　向量的数量积 1.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 2.常用结论 (1)(a+b) 2=a2+2a·b+b2. (2)(a-b) 2=a2-2a·b+b2. (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (4)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. [例1]　正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　　) A. 　　B.3 C.2 　　D.5 解析:选B　由题意知,=+=+,=+=-+, 所以·=·=||2-||2=4-1=3,故选B. 　　|思|维|建|模| 求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 　　[针对训练] 1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·= (　　) A.2 B.4 C.3 D. 解析:选B　根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0.又因为= ,||=2, 所以·=·=||||cos∠ADB=×2×||×=4.故选B. 2.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=　　　　.  解析:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=2(a·b+b·c+c·a)+9=0⇒a·b+b·c+c·a=-. 答案:- 题型(二)　向量的模 [例2]　已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10. 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10. 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去). |思|维|建|模| 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 根据a2=|a|2,求|a|2,再开方计算|a|. (2)常用公式 ①(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2; ②|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. 　 　　[针对训练] 3.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选C　∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20.∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C. 4.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=　　　　.  解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7,所以|c|=. 答案: 题型(三)　向量的夹角与垂直 [例3]　(1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A. 　　　　　B. C. 　　　　　D. (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为　　　　　　　　　　.  解析:(1)设a与b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ===.因为0≤θ ≤π,所以a与b的夹角为,故选B. (2)因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角, 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为(0,1)∪(1,+∞). 答案:(1)B　(2)(0,1)∪(1,+∞) 　　[变式拓展] 　将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求k的取值范围. 解:因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角, 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0. 当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0). 　　|思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0,π].当cos θ>0时,θ∈;当cos θ<0时,θ∈;当cos θ=0时,θ=. 　　[针对训练] 5.已知非零向量a,b满足4|a|=3|b|,a与b夹角的余弦值为,若(xa+b)⊥b,则实数x等于 (　　) A.-4 B.- C.4 D. 解析:选A　由4|a|=3|b|,可设|b|=4t(t>0),则|a|=3t.因为(xa+b)⊥b,所以(xa+b)·b=xa·b+|b|2=x·3t·4t·+4t·4t=(4x+16)t2=0.又t>0,所以x=-4. 6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b夹角的大小. 解:因为a,b都是非零向量, 由a+3b与7a-5b垂直, 则(a+3b)·(7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0.　　① 由a-4b与7a-2b垂直, 则(a-4b)·(7a-2b)=0, 即7a2-30a·b+8b2=0. ② ①-②,得2a·b=b2=|b|2, ③ ③代入①,得|a|=|b|. 设a与b夹角为θ,则cos θ===, 因为θ∈[0,π],所以θ=.所以a与b的夹角为. 学科网（北京）股份有限公司 $