6.2.4 平面向量的数量积的概念 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.2.4平面向量的数量积 第1课时　平面向量的数量积的概念【导学】【解析】 导学目标： 1.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量； 2.会求平面向量的数量积、投影向量； 3.熟记平面向量数量积的性质； 4.能运用数量积的性质解决问题； 【重点】平面向量数量积的定义及投影向量； 【难点】平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。 【知识要点】 向量的夹角的定义 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点， 作则 叫做向量的夹角. 显然，当时，同向；当时，反向. 如果的夹角是，我们就说垂直，记作. 向量数量积的定义 已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 说 明 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （2） 中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”； 运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]. 投影向量的定义 如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影,叫做向量在向量上的投影。 如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向量上的投影向量。 向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)． (2)当a与b同向时，； 当a与b反向时，． (3)或. (4). 【典型例题】 题型一 向量数量积向量的定义和运算 【例1-1】（多选）如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有（ ） A. ; B. ; C. ; D. . 【答案】CD 【例1-2】（衔接教材P17L9）已知的夹角，求. 【答案】-10 【例1-3】已知向量，满足，，，求 . 【答案】 【例1-4】在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(　　) A．20　 B．－20 C．20 D．－20 【答案】B 【例1-5】设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1 【答案】C 【例1-6】已知单位向量的夹角为1200，向量，求​ 【答案】. 题型二 向量的夹角 【例2-1】已知向量，满足，，，求. 【答案】. 【例2-2】（衔接教材P18L10）已知，求的夹角. 【答案】1350. 【例2-3】已知向量，满足，且，则，夹角为 ． 【答案】1350. 题型三 向量垂直 【例3-1】已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 【答案】(1);(2) 【例3-2】若向量满足，且(a​+b​)⊥b​，(a​+2b​)⊥a​，则下列命题正确的是（ ） A. ​； B.与的夹角为； C.；； D.在上的投影向量为. 【答案】A 题型四 三角形形状的判断 【例4-1】已知在当时，试判断的形状. 【答案】是钝角三角形或直角三角形. 【例4-2】在△ABC中，＝a，＝b，且，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】C 【例4-3】P是△ABC所在平面上一点，满足,则△ABC的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 题型五 投影向量 【例5-1】（衔接教材P20T3）已知为单位向量，且的夹角为求向量在上的投影向量。 【答案】当=向量在上的投影向量. 当=向量在上的投影向量. 当=向量在上的投影向量. 当=向量在上的投影向量 【例5-2】己知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【例5-3】己知非零向量，满足，且的投影向量为，则= . 【答案】 ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.2.4平面向量的数量积 第1课时　平面向量的数量积的概念【导学】 导学目标： 1.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量； 2.会求平面向量的数量积、投影向量； 3.熟记平面向量数量积的性质； 4.能运用数量积的性质解决问题； 【重点】平面向量数量积的定义及投影向量； 【难点】平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。 【知识要点】 向量的夹角的定义 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点， 作则 叫做向量的夹角. 显然，当时，同向；当时，反向. 如果的夹角是，我们就说垂直，记作. 向量数量积的定义 已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为 。 说 明 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （2） 中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”； 运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]. 投影向量的定义 如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影,叫做向量在向量上的投影。 如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向量上的投影向量。 向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)． (2)当a与b同向时，； 当a与b反向时，． (3)或. (4). 【典型例题】 题型一 向量数量积向量的定义和运算 【例1-1】（多选）如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有（ ） A. ; B. ; C. ; D. . 【例1-2】（衔接教材P17L9）已知的夹角，求. 【例1-3】已知向量，满足，，，求 . 【例1-4】在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(　　) A．20　 B．－20 C．20 D．－20 【例1-5】设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1 【例1-6】已知单位向量的夹角为1200，向量，求​ 题型二 向量的夹角 【例2-1】已知向量，满足，，，求 【例2-2】（衔接教材P18L10）已知，求的夹角. 【例2-3】已知向量，满足，且，则，夹角为 ． 题型三 向量垂直 【例3-1】已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 【例3-2】若向量满足，且(a​+b​)⊥b​，(a​+2b​)⊥a​，则下列命题正确的是（ ） A. ​； B.与的夹角为； C.；； D.在上的投影向量为. 题型四 三角形形状的判断 【例4-1】已知在当时，试判断的形状. 【例4-2】在△ABC中，＝a，＝b，且，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【例4-3】P是△ABC所在平面上一点，满足,则△ABC的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 题型五 投影向量 【例5-1】（衔接教材P20T3）已知为单位向量，且的夹角为求向量在上的投影向量。 【例5-2】己知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例5-3】己知非零向量，满足，且的投影向量为，则= . ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $