6.2.3 向量的数乘运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

　[课时目标]

1.了解向量数乘的概念.

2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.

3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.

4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.

1.向量的线性运算

(1)数乘运算的概念

一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:

①|λa|=|λ||a|.

②λa(a≠0)的方向:

特别地,当λ=0时,λa=0.当λ=-1时,(-1)a=-a.

(2)数乘运算的运算律

设λ,μ为实数,那么

①λ(μ a)=(λμ)a.

②(λ+μ)a=λa+μ a. 

③λ(a+b)=λa+λb.

特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.

 

 

 

|微|点|助|解|

(1)向量的数乘与实数的乘法的区别:前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别注意,当λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆,错误地表述成λa=0.

(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无法运算的.

2.向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.

|微|点|助|解|

(1)向量共线定理中规定a≠0,b可以为0.

(2)λ的值是唯一存在的.

(3)向量共线定理的本质是位于同一直线上的向量可以由位于该直线上的一个非零向量表示.

 

基础落实训练

1.(2a-b)-(a-2b)= (　　)

A.3a+3b B.a-3b

C.a+b D.3a-b

解析:选C　由平面向量的线性运算可得(2a-b)-(a-2b)=a+b.

2.点C在线段AB上,且=,则下列选项正确的是 (　　)

A.= B.=

C.= D.=-

解析:选A　因为点C在线段AB上,且=,

所以==,=,==-,故A正确,B、C、D错误.

3.如图,在矩形ABCD中,E为BC中点,那么向量+等于 (　　)

A. B. 

C. D.

解析:选B　因为四边形ABCD为矩形,E为BC中点,所以=,所以+=+=.

4.非零向量-2a与a方向　　　,且-2a的长度是a的　　　 倍. 

答案:相反　2

题型(一)　向量线性运算

[例1]　设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+(2b-a).

解:原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.

 

　　|思|维|建|模|

向量线性运算的基本方法

(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.