6.2.3 向量的数乘运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则. 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法. 4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题. 1.向量的线性运算 (1)数乘运算的概念 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|. ②λa(a≠0)的方向: 特别地,当λ=0时,λa=0.当λ=-1时,(-1)a=-a. (2)数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,那么 ①λ(μ a)=(λμ)a. ②(λ+μ)a=λa+μ a.  ③λ(a+b)=λa+λb. 特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. |微|点|助|解| (1)向量的数乘与实数的乘法的区别:前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别注意,当λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆,错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无法运算的. 2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. |微|点|助|解| (1)向量共线定理中规定a≠0,b可以为0. (2)λ的值是唯一存在的. (3)向量共线定理的本质是位于同一直线上的向量可以由位于该直线上的一个非零向量表示. 基础落实训练 1.(2a-b)-(a-2b)= (　　) A.3a+3b B.a-3b C.a+b D.3a-b 解析:选C　由平面向量的线性运算可得(2a-b)-(a-2b)=a+b. 2.点C在线段AB上,且=,则下列选项正确的是 (　　) A.= B.= C.= D.=- 解析:选A　因为点C在线段AB上,且=, 所以==,=,==-,故A正确,B、C、D错误. 3.如图,在矩形ABCD中,E为BC中点,那么向量+等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为四边形ABCD为矩形,E为BC中点,所以=,所以+=+=. 4.非零向量-2a与a方向　　　,且-2a的长度是a的　　　 倍.  答案:相反　2 题型(一)　向量线性运算 [例1]　设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+(2b-a). 解:原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j. 　　|思|维|建|模| 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算. 　　[针对训练] 1.在平行四边形ABCD中,E为BD的中点,F为BC上一点,则+-2= (　　) A.2 B.2 C. D.2 解析:选A　因为E为BD的中点,则+=2,所以+-2=2-2=2. 2.(1)已知向量a,b,c,计算:4(a-3b+5c)-2(-3a-6b+8c); (2)若向量x,y满足2x+3y=a,3x-2y=b,a,b为已知向量,求向量x,y. 解:(1)根据向量的运算律,可得原式=4a-12b+20c+6a+12b-16c=10a+4c. (2)由方程组 解得x=a+b,y=a-b. 题型(二)　用已知向量表示其他向量 [例2]　在△ABC中,D为BC上的点,且BD=DC,E为AD上的点,且AE=2ED,若=e1,=e2,试用e1与e2的线性组合表示. 解:根据题意得=-=e2-e1, 所以==e2-e1, 所以=+=e1+e2, 所以==e1+e2,所以=+=-e2+e1+e2=e1-e2. 　　|思|维|建|模| 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程(组)法 当直接表示比较困难时,可以首先利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则及向量减法的几何意义建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程(组). 　　[针对训练] 3.如图,在四边形ABCD中,=2,=2,设=a,=b,则等于 (　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:选C　因为=2,=2,所以=+=+=+(-)=+(+-)=++=++=a+b. 4.在△ABC中,点D为BC的三等分点,设向量a=,b=,用向量a,b表示=　　 　　　　　.   解析:因为D为BC的三等分点, 所以当BD=BC时,如图1, 则=+=+=+(-)=+=a+b. 当BD=BC时,如图2, 则=+=+(-)=+=a+b. 答案:a+b或a+b 题型(三)　向量共线定理及其应用 [例3]　已知e1,e2是两个不共线的向量. (1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线; (2)若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线? 解:(1)证明:∵=e1+e2,=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5, ∴与共线,且有公共点B, ∴A,B,D三点共线. (2)由已知得d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2, 整理得(2λ+2μ-2k)e1=(3λ-3μ-9k)e2. ∵e1与e2不共线, ∴解得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ,使得d与c共线, 此时λ=-2μ. 　　|思|维|建|模| (1)运用向量知识判断A,B,C三点是否共线,可先判断向量共线,即是否存在λ,使=λ(=λ等)成立,再说明两向量所在的直线有公共点即可判断. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 　　[针对训练] 5.已知a,b是不共线的两个平面向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 (　　) A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 解析:选B　∵=+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=, ∴与共线.又AB与BD有公共点B,则A,B,D三点共线. 6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 (　　) A.梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形 解析:选A　因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b, 所以=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b,所以=2, 即AD∥BC且||≠||, 所以四边形ABCD为梯形.故选A. 7.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　　.  解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以ka+2b=λ(8a+kb),其中λ<0,所以k=8λ<0,2=λk,联立可得k2=16,解得k=-4. 答案:-4 学科网（北京）股份有限公司 $