6.2.3 向量的数乘运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 【学习目标】 　　1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义. 　　2.理解两个平面向量共线的含义. 　　3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. ◆ 知识点一　向量的数乘运算 1.向量的数乘的定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个　　　　,这种运算叫作　　　　　,记作　　　　,它的长度与方向规定如下:   (1)|λa|=　　　　　　;  (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　　;   当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;   当λ=0时,λa=　　　　,方向　　　　.   2.向量数乘的运算律 设a,b为向量,λ,μ为实数,那么 (1)λ(μa)=　　　　;   (2)(λ+μ)a=　　　　;   (3)λ(a+b)=　　　　.   特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 3.向量的线性运算 (1)向量的　　　　　　　运算统称为向量的线性运算.   (2)对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=　　　　　　　　.   【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)λa的方向与a的方向一致. (　 ) (2)若λa=0,则a=0. (　 ) (3)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b.(　 ) 2.[2(2a+8b)-4(4a-2b)]=　　　　.  ◆ 知识点二　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:　　　　一个实数λ,使　　　　.   【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa. (　 ) (2)若b=λa,则a与b共线. (　 ) 2.向量共线定理中为什么规定a≠0? ◆ 探究点一　向量的数乘的概念 例1 (1)(多选题)已知λ,μ∈R,且a≠0,则下列说法中正确的是 (　 ) A.当λ<0时,λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时,λa的方向具有任意性 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时,λa的方向与μa的方向一定相同 (2)已知点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3. ①用 表示;②用 表示. ◆ 探究点二　向量的线性运算 例2 (1)化简: ①4(a-3b)+6(-2b-a)= 　　　　;  ②(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　　　　;  ③=　　　　.  (2)已知3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,求x. 变式 (1)[2025·浙江A9协作体高一期中] 已知e1,e2为两个不共线的向量,a=2e1+e2,b=3e1-2e2,则a-2b=　　　　.(用e1,e2表示)  (2)已知向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x=　　　　　,y=　　　　　　　.(用向量a,b表示)  [素养小结] 向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用. (2)向量也可以通过列方程来解,即把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. ◆ 探究点三　用已知向量表示未知向量 例3 (1)如图①,在△ABC中,D,E为边AB上的三等分点,若=3a,=2b,试用a,b表示,. (2)如图②,在▱ABCD中,=a,=b,点O是AC与BD的交点,点G是DO的中点,试用a,b表示. 2 ② 变式 [2025·济宁高一期中] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD上靠近A的三等分点,则= (　 ) A.- B.-+ C.- D.-+ ◆ 探究点四　向量共线定理及其应用 例4 设a,b是不共线的两个向量. (1)若=2a-b,=a+b,=a-2b,求证:A,B,D三点共线; (2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值. 变式 (1)已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为 (　 ) A.λ=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0 (2)已知A,B,P三点共线,O为直线AB外任意一点,若=x+y,则x+y= (　 ) A.1 B. C.2 D. [素养小结] 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等). (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点,则存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. 2.利用向量共线求参数的方法 解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程(组),从而解方程(组)求得λ的值. 拓展 在△ABC中,已知AB=2,AC=3,P在边BC上,且=,Q是边AB上的动点.若=,O是AP的中点,求证:C,O,Q三点共线. 6.2.3　向量的数乘运算 【课前预习】 知识点一 1.向量　向量的数乘　λa　(1)|λ||a| (2)相同　相反　0　任意 2.(1)(λμ)a　(2)λa+μa　(3)λa+λb 3.(1)加、减、数乘　(2)λμ1a±λμ2b 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)× 2.2b-a　[解析] 原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=2b-a. 知识点二 存在唯一　b=λa 诊断分析 1.(1)×　(2)√ 2.解:若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa.为了保证λ的唯一性,所以定理中规定a≠0. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)ABD　[解析] 根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定,A正确;对于B,当λ=0时,λa=0,零向量的方向具有任意性,故B正确;对于D,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故D正确;对于C,|λa|=|λ||a|,故C错误.故选ABD. (2)解:如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC. ①如图b,向量与的方向相同,所以=2. ②如图c,向量与的方向相反,所以=-3. 探究点二 例2　(1)①-2a-24b　②0　③a-b　[解析] ①4(a-3b)+6(-2b-a)=4a-12b-12b-6a=-2a-24b. ②原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0. ③===a-b. (2)解:由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a. 变式　(1)-4e1+5e2　(2)3a+2b　4a+3b　[解析] (1)因为a=2e1+e2,b=3e1-2e2,所以a-2b=(2e1+e2)-2(3e1-2e2)=-4e1+5e2. (2)由题知3x-2y=a①,-4x+3y=b②,由①×3+②×2,得x=3a+2b,代入①得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b. 探究点三 例3　解:(1)∵=3a,=2b,∴=-=2b-3a,又D,E为边AB上的三等分点,∴=,=,故=+=+=3a+b-a=2a+b,=+=+=3a+b-2a=a+b. (2)∵点O是AC与BD的交点,点G是DO的中点,∴==(-), ∴=+=+(-)=+, ∴=a+b. 变式　D　[解析] 如图所示,=+=+=-+(+)=-+.故选D. 探究点四 例4　解:(1)证明:由题意知,=+=2a-b=, ∴∥,且有公共点B,∴A,B,D三点共线. (2)∵a,b不共线,∴ka+2b≠0, 又8a+kb与ka+2b共线, ∴存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b), ∴解得k=±4. 变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)若a与b共线,则a=kb,得到e1+λe2=2ke1,化简得-λe2=(1-2k)e1,故λe2=(2k-1)e1,因为e1≠0,所以我们讨论2k-1是否为0.当2k-1=0时,可得λ=0或e2=0,但e2=0时,一定满足e1∥e2,当2k-1≠0时,则e1=e2,此时满足e1∥e2,则a与b共线的条件为e1∥e2或λ=0,故D正确.故选D. (2)因为A,B,P三点共线,所以向量与共线,所以存在实数λ,使=λ,即-=λ(-),所以=(1-λ)+λ,故x=1-λ,y=λ,即x+y=1. 拓展　证明:方法一:因为=,所以-=-, 即=+, 又因为O是AP的中点,所以==+. 连接QC,OC,因为=,所以=-=-+, 又因为=-=-+, 所以=,因此C,O,Q三点共线. 方法二:因为=,所以-=-,即=+, 又因为O是AP的中点,所以==+. 因为=,所以=, 所以=+=+, 因为+=1,所以C,O,Q三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $