6.2.3向量的数乘运算讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的数乘运算 【知识梳理】 一、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 二、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 三、向量共线定理 1. 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2. 若三点共线，O为直线外一点⇔存在实数使，且 【学习目标】 1. 理解实数与向量的积的定义及向量数乘的运算率，并理解其几何意义。 2. 理解两个向量共线的条件，理解并掌握判断三点共线的方法。 【例题分析】 例1. 计算： （1）； （2）． 巩固. 计算： （1）； （2）． 例2. 已知，且，则实数___________. 例3. 已知向量，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 例4. 已知， 是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 【课时训练】 一、单选题 1．已知，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 2．已知实数和向量有下列说法： ①；②； ③若，则； ④若，则. 其中，正确的说法是 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是 ①且； ②存在相异实数入，使； ③（其中实数满足）； ④已知梯形，其中 A．①② B．①③ C．② D．③④ 5．若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 6．在中，已知是边上的一点，若，，则 A． B． C． D． 7．在中，点在边的延长线上，且.若，则点在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 8．P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在 A．内部 B．边所在直线上 C．边所在直线上 D．边所在直线上 9．设分别是的三边上的点，且，则与 A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 10．AB是⊙O的直径，点C、D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则= A． B． C． D． 11．已知向量不共线，若向量与的方向相反，则等于 A．1 B．0 C． D． 二、填空题 12．若，与的方向相反，且，则＝________. 13．若，为已知向量，且，则_____________. 14．已知是线段外一点，，是线段的三等分点.如果，，那么________________. 15．已知向量不共线，且，若与同向，则实数λ的值为__________． 16．设，则共线的三点是__________. 学科网（北京）股份有限公司 $$