6.2.1 向量的加法运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　　　　　　6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义,会用三角形法则和平行四边形法则作两向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算. 1.向量加法的两种法则 (1)三角形法则 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. (2)平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.归纳口诀为“共起点,对角线”. (3)对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. 2.共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)一般地,我们有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,右边取等号;当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相反的非零向量时,左边取等号.口诀:同号取等方向同,异号取等方向反. (2)向量加法的运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) |微|点|助|解| (1)对向量加法的三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:两个向量一定首尾相连;和向量的起点是第一个向量的起点,终点是第二个向量的终点;当多个向量相加时,可以使用三角形法则. (2)运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同. (3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行,如(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量相加,结果可能是一个数量. (　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. (　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. (　　) (4)+=. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.在△ABC中,=a,=b,则a+b等于 (　　) A. B. C. D. 答案:D 3.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的向量的个数为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选A　向量加法满足交换律,所以五个向量均等于a+b+c.故选A. 4.人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 (　　) A.|v1|+|v2| B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 解析:选B　因为速度是既有大小又有方向的量,由向量的加法法则可知,逆风行驶的速度为v1+v2.故选B. 题型(一)　向量加法的平行四边形法则和三角形法则 [例1]　(1)如图①所示,求作向量a+b; (2)如图②所示,试用三角形法 则作向量a+b+c. 解:(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图所示. (2)如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则向量=a+b.然后作向量=c,则向量=a+b+c,即为所求. 　　[变式拓展] 本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作向量a+b+c. 解:首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作▱OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作▱ODEC,连接OE,则=+=a+b+c,即为所求. 　　|思|维|建|模| 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合. (3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单. 　　[针对训练] 1.(1)如图①,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b; (2)已知向量a,b,c,如图②,求作a+b+c. 解:(1)如图a,过点O作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,连接OC,则=+=a+b. (2)如图b,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c. 题型(二)　向量加法运算律的应用 [例2]　如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,化简下列各式: (1)+;(2)+;(3)++. 解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知: (1)+=+=. (2)+=+=. (3)++=++=. 　　[变式拓展] 1.在本例条件下,求+. 解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以+=. 2.在本例图形中求作向量++. 解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G,则+=,作=,连接DH, 则=++,如图所示. 　　|思|维|建|模|　向量加法运算律的意义和应用原则 意义 由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 应用 原则 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 　　[针对训练] 2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=. 3.已知正方形ABCD的边长等于1,则|+++|=　　　　.  解析:|+++|=|+++|=|+|=2||=2. 答案:2 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　一架救援直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行了40 km到达C地,求此时救援直升机与A地的相对位置. 解:如图所示,设,分别是救援直升机的位移, 则表示两次位移的合位移,即=+.在Rt△ADB中,||=20 km, ||=20 km,则||=||+||=20+40=60(km),在Rt△ADC中,||==40(km),∠CAD=60°,即此时救援直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km处. 　　|思|维|建|模|　利用向量加法解实际应用题的步骤 　　[针对训练] 4.河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船在静水中的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,求小船的实际航行速度和方向. 解:设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内任意一点O作=a,=b,以OA,OB为邻边作矩形OACB,连接OC,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度. ∴||===20(km/h). ∵tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,∴小船的实际航行速度为20 km/h,沿北偏东30°的方向航行. 学科网（北京）股份有限公司 $