平面向量的线性运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦向量的加法、减法、数乘运算及共线定理核心知识点，通过思维导图梳理知识结构，以作图、化简、几何应用等例题为支架，构建从基础运算到定理应用的递进学习脉络。 资料特色在于结合生活情境（如方向行走问题）培养数学眼光，通过共线定理证明题发展数学思维，以符号表达几何关系强化数学语言。课中助力教师系统授课，课后分题型巩固精练帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 平面向量的线性运算 思维导图 第1页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 概念 两个向量和的运算 a+b 三角形 首尾连 6 法则 连首尾 三角形法则 方法 平行四边 起点相同 a+b 法 形法则 连对角 平行四边形法则 零向量0叶a=a 交换律：a+b=b+a 运算法则 结合律：(a+b)+c=A+(6+c) 平面向量的运算 a+6s付+6当且仅当a5方向相同时等号成立 向量的加减数乘统称为向量的线性运算 概念®求两个向量差的运算 共起点，连终点，指向被减 减法运算 三角形法则 6 a-b 方法 三角形法则 平行四边形法则共起点，连终点，指向被减 ,线性运算的结果为向量 概念 规定实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 1xa1=l1川al 当1>0时，1a与a的方向相同 乘运算 记作入a 当A<0时，入a与a的方向相反 当1=0时，1a=0 运算律 9 入（μa)=(入μ）a；(入+μ)a=Aa+μa；x(a+b)=入a+入b 共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得6=1a. 常见题型 题型一 向量的加法运算 【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量口、万，分别用两种方法求作向量口+6 第2页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ (1) (2) (3) (4) 【答案】见解析 【解析】将b的起点移到“的终点，再首尾相接，可得a+b 将两个向最的志点移到点有：利用平行四边形法则，以日、风为部边，作出平行网边形，则过点A的对 角线为向量a+b.如图所示，AB=a+b A (1) (2) A A≤ 3) B 【例1-2】如果0表示“向东走10m”,b表示“向西走5”，C表示“向北走10k1”，d表示 第3页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ “向南走 5m,那么下列向量具有什么意义？ 1)a+a,(2)a+b:(3)a+c: 4)b+d,5)6+c+b:(6)d+a+d 20m；(2)向东走 m 【答案】(1)向东 (3)向东北走10W2km:④向西南走5W2m (5)向西北走10W2km:(6)向东南走10√2m 【解析】由题意知：a表示“向东走I0km”，b表示“向西走5m”,C表示“向北走10km”,司 表示“向南走 5km, (1)a+a表示“向东走20km” (2)a+b表示“向东走5kmn (3)a+c表示“向东北走10W2m, 4)6+d表示“向西南走5W5km” (5)方+c+b表示“向西北走10V2km, (6)d+a+d表示“向东南走10W21 【例1-3】向量AB+MB+B0+BC+OM.化简后等于() A.A☑ B.0 D.4c 【答案】D 【解析】(AB+MB+B0+BC+OM-AB+BO+OM+MB+BC=AO+OM+MB+BC 第4页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ =AM+MB+BC=AB+BC=AC,故选D. 【例1-4】已知点D,E,F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的() A D F B C E A.FD+DA=FA B.FD+DE+EF=0 DE+DA=EC D.DE+DA=FD 【答案】D 【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD+DA=F☑， 故A正确： 由FD+D正+EF=FE+EF=0,故B正确： 根据平行四边形法则，可得D正+DA=DF=EC,故C正确，D不正确，故选：D 题型二 向量的减法运算 【例2-1】如图，在各小题中，已知a,6, ，分别求作a-石 b (1) (2) (3) (4) 第5页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【答案】见解析 【解析】将“，6的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，BA=a-6 a-b a-5 B (1) (2) a-b a-b Bb0a→A BaA (3) (4) 【例2-2】化简下列各式： OMB-(CB-CA:②AB-AC+BD-CD:®OA-OD+AD:④N0+0P+Mm-MP. 其中结果为0的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】OAB-(CB-CA=AB+BC+CA=AC+CA=0. AB-AC+BD-CD-AB+BD-AC+CD-AD-AD-0, ③OA-OD+AD-DA+AD=0. ④0+QP+M瓜-M师=P+P=0:以上各式化简后结果均为0，故选：D 题型三向量的数乘的运算 第6页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【例3-1】把下列各小题中的向量b表示为实数与向量“的积： (1)a=3e.b=6e (2)a=8e,6=-14e 【答案】(1)6=2a:(2) b--7 1aa.(3)b三-{、】 2Q:(42b≤、d 9 解析】(1）b=6e=2×3e,b=2a:(2)6三-14e-、7. ×8e=-7a 4 4°； b= 2x(3e=- 2 3、 (3)3e三、1 b=- 2-￥8 3 2: (4) 9 e=8 4 【创32】奥图，O41DB是以向O1=a.0O5=6为边的平行四边形，又8M-号8C.CN-CD, 试用a, 表示OM,ON,MN B 0M=a+ON=2a+26Mm=1a-16 【答案】 66, 3 3 26 第7页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【e1cw-Dom-0c-o+0丽-号+5 BM-BC..BM-1BA 6 .OM=0B+BM-0B+(04-0B)=a+5B 6 66 M派=oN-oM=}a-'6 6 题型四向量的共线定理 【例4-1】判断向量0，b是否共线（其中9,2是两个非零不共线的向量）： (①)a=38,b=-9g: 1一1一 ②a=28-36,6=38-28」 (8)ā=6-8，b=3e+36 【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线. 【解析】)a=38,b=-9e,方=-3a,a,b共线. 四：@--=-2g=6-a6概 3)假设6=a(2eR),则3记+38=元-6，.(3-元)g+(3+2)尼，=0. 3-元=0， g,C不共线，…3+入=0.此方程组无解.不存在实数2，使得万=入aa,方不共线. 【例4-2】(1)已知向量g,6,不共线，若AB=2g+10g,BC=-2g+8e,CD=3日-6，试证： 第8页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ A,B,D 三点共线： 2设9,6是两个不共线向量，已知AB=2C+kg,CB=日+30，CD=2只-6，若4，B,D三点共线 求k的值. 【答案】(1)见解析(2)-8 【解析】(0~BD=BC+CD=-22+8e,+39-8=8+58,AB=2g+10e, .B=2BD,BD与B共线：又BD与B有公共点B ..A,B,D 三点共线。 2BD=CD-CB=(2g-g)-g+38,=e-4e, A,B,D三点共线，AB,BD共线 ∴存在实数元使AB=BD,即28+kg,=2g-4e】 2=2, (2-)尼=(-41-k)e,:e与E不共线，“1k=-4,.k=-8 巩固精练 【题组一向量的加法运算】 1.化简. (1)AB+CD+BC+DA (2)AB+MB+BO+BC+OM 【答案】)0：2)AC 【解析】1)AB+CD+BC+DA=AB+BC+CD+DA=0 (2)4B+MB+BO+BC+OM=4B+B0+OM+MB+BC=AC 第9页共19页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 2.下列四式不能化简为AD的是() A.MB+AD-BM B.(AD+MB)+(BC+CM) C.(AB+CD)+BC D.OC-04+CD 【答案】A 【解析】对B,(MD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD 故B正确： 对C,(MB+CD)+BC=AB+BC+CD=AD,放C正确： 对D,OC-O1+CD=AC+CD=AD,故D正确：故选：A 3.q)已知向量“，b,求作向量C,使9+b+C=0. (2)中表示口，万，C的有向线段能构成三角形吗？ 【答案】(1)见解析. 【解析】(1)方法一：如图所示，当向量“，b两个不共线时，作平行四边形OADB，,使得OA=a, OB=b B D 0 则a+6=0而，又a+b+c=0,所以0D+c=0,即0D=-c=-0C, 方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作△MBC,使得AB=a,BC=b,CA=C, 第10页共19页学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 平面向量的线性运算 思维导图 概念©两个向量和的运算 a+b 三角形 首尾连 法则 连首尾 三角形法则 方法 6 平行四边 起点相同 a+b 法 形法则 连对角 a 算 平行四边形法则 零向量0+a=a 交换律：a+b=b+a 运算法则 结合律：(a+b)+c=a+(6+c) 平面向量的运算 点+s+6当且仅当a.5方向相同时等号成立 向量的加减数乘统称为向量的线性运算 概念 求两个向量差的运算 共起点，连终点，指向被减 减法运算 三角形法则 方法 三角形法则 平行四边形法则@ 共起点，连终点，指向被减 ,线性运算的结果为向量 概念 规定实数A与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 11a1=11川a1 当>0时，1a与a的方向相同 乘运 记作元a 当1<0时，1a与a的方向相反 当A=0时，Aa=0 运 x(μa)=(Au)a；(入+u)a=Aa+ua；A(a+b)=入a+x6 律 共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得b=1a. 第1页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 常见题型 题型一向量的加法运算 【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量a、,分别用两种方法求作向量a+方. (1) (2) (3) (4) 【例1-2】如果a表示“向东走10m”,b表示“向西走5m”,C表示“向北走10am”, ā表示“向南走5m”,那么下列向量具有什么意义？ (1)a+a; (2)a+b; (3)a+c; (4)b+d; (5)b+c+b; (6)d+a+d. 第2页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【例1-3】向量AB+MB+B0+BC+OM·化简后等于() A.AM B.0 C.a D.4C 【例1-4】已知点D,E,F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的() A D F B E A.FD+DA=FA B.FD+DE+EF=0 C.DE+DA=EC D.DE+DA=FD 题型二 向量的减法运算 【例2-1】如图，在各小题中，已知a,i,分别求作a-b. a a b b b b (1) (2) (3) (4) 第3页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【例2-2】化简下列各式： ①AB-(CB-CA;②AB-AC+BD-CD;③OA-OD+AD;④NO+QP+MN-MP. 其中结果为0的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型三向量的数乘的运算 【例3-1】把下列各小题中的向量表示为实数与向量a的积： (1)a=3e,b=6e; (2)a=8e,b=-14e; 1- 3)a=-e,b -e; 3 e,bs-2 (4)a=-3e 4 e 3 【例32】如图，OADB是以向量OA=a,OB=B为边的平行四边形，又BM=BC,CN=CD, 试用a,b表示OM,ON,MN. 第4页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 题型四 向量的共线定理 【例4-1】判断向量a,b是否共线（其中g,e是两个非零不共线的向量）： (1)a=3e,b=-9e: 国a-6=期-2： (3)a=e-e,b=3e+3e. 【例4-2】(1)已知向量g,g,不共线，若AB=2e+10e,BC=-2+8e,CD=3(g-e), 试证：A,B,D三点共线. (2)设g,已2是两个不共线向量，已知AB=2E+ke,CB=g+3E,CD=2e-e,若A,B,D三点 共线，求k的值. 第5页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 巩固精练 【题组一向量的加法运算】 1.化简. (1)AB+CD+BC+DA. (2)4B+MB+BO+BC+OM. 2.下列四式不能化简为AD的是() A.MB+AD-BM B.(AD+MB)+(BC+CM) C.(AB+CD)+BC D.OC-04+CD 3.(1)已知向量a,b,求作向量c,使a+b+c=0. (2)中表示a,b,c的有向线段能构成三角形吗？ 【题组二向量的减法运算】 1.已知向量a,i,c,求作a-b+c和a-(6-c: 第6页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 2.化简：AB-CB+CD-ED-AE=() A.0 B.AB C.BA D.CA 3.化简： (1)AB+BC+CA; (2)(AB+MB)+BO+OM; (3)OA+0C+B0+C0; (4)AB-AC+BD-CD; (5)0A-0D+AD; (6)AB-AD-DC. 4.(多选题)下列各式中，结果为零向量的是() A.AB+MB+BO+OM B.AB+BC+CA C.04+0C+B0+CO D.AB-AC+BD-CD 5.(多选题)已知a,b为非零向量，则下列命题中正确的是() A.若a+5=ā+b,则a与i方向相同 B.若a+b=ā-b,则a与方方向相反 C.若a+5a-,则a与6有相等的模 D.若a-=a-,则a与6方向相同 第7页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【题组三向量的数乘运算】 1.化简： (1)5(3a-2b)+4(2b-3a): 2-20-a-2--: (3)(x+y)a-(x-y)a. 2.己知点B是平行四边形ACDE内一点，且AB=a,AC=b,AE=c,试用ā，b,c表 示向量CD、BC、BE、CE及BD. E D 3.如图，四边形0ADB是以向量OA=a,OB=i为边的平行四边形，又BM=BC, CN=1CD,试用a、方表示OM、ON、MN. 3 M 第8页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 【题组四向量的共线定理】 1.设，e,是两个不共线的向量，若向量a=e+e,(2∈R)与b=-(e2-2)共线，则() A.入0 B.入=-1 C.入=-2 D.=月 2 2.设a,b是不共线的两个非零向量，已知AB=2ā+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D 三点共线，则p的值为() A.1 B.2 C.-2 D.-1 3.已知向量m,n不是共线向量，a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xi (1)判断a,b是否共线： (2)若a‖c,求x的值 4.设e,g是两个不共线向量，已知AB=2e-8e,,CB=g+3,CD=2,-C2. 若BF=3e-ke,,且B,D,F三点共线，求k的值. 第9页共10页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=a,AB=b,M为AB的中点，点N在DB上， 且DN=2NB.证明：M,NC三点共线. D A M 6.如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点， 设AB=a,AO=b. D (1)用向量a与b表示向量OC,CD: ②)若OE=O1,求证：C弘B三点共线. 第10页共10页