第六章 专题微课 平面向量及其应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

第六章 专题微课 平面向量及其应用 [课时跟踪检测] 1.已知△ABC中,AB=4,AC=3,cos A=.若D为边BC上的动点,则·的取值范围是 (　　) A.[4,12] B.[8,16] C.[4,16] D.[2,4] 解析:选C　由题意得=λ+(1-λ),0≤λ≤1,·=·[λ+(1-λ)]=λ+(1-λ)||||cos A=16λ+4-4λ=12λ+4∈[4,16]. 2.已知向量a,b满足|a|=1,a与b的夹角为,若对一切实数x,|xa+2b|≥|a+b|恒成立,则|b|的取值范围是 (　　) A. B. C.[1,+∞) D.(1,+∞) 解析:选C　因为|a|=1,a与b的夹角为, 所以a·b=|b|cos=|b|. 把|xa+2b|≥|a+b|两边平方, 整理可得x2+2|b|x+3|b|2-|b|-1≥0, 所以Δ=4|b|2-4(3|b|2-|b|-1)≤0, 即(|b|-1)(2|b|+1)≥0,解得|b|≥1. 3.设e1,e2是平面内两个不共线的向量,=(a-1)e1+e2,=2be1-e2,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值是 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析:选A　因为A,B,C三点共线,所以向量,共线, 所以存在λ∈R,使得=λ,即(a-1)e1+e2=λ(2be1-e2), 即(a-1)e1+e2=2λbe1-λe2, 因为e1,e2不共线,所以消去λ,得a+2b=1, 因为a>0,b>0,所以+=(a+2b)=4++≥4+2=4+2×2=8, 当且仅当a=,b=时,等号成立. 4.对任意非零向量a,b,定义新运算:a×b=.已知非零向量m,n满足|m|>3|n|,且向量m,n的夹角θ∈,若4(m×n)和4(n×m)都是整数,则m×n的值可能是 (　　) A.2 B.3 C.4 D. 解析:选B　由题意可得n×m==(k∈Z).因为|m|>3|n|>0,所以0<<.因为θ∈,所以<sin θ<1.所以0<sin θ<,即0<<,解得0<k<.因为k∈Z,所以k=1.所以n×m==.则=4sin θ,则=<,得<sin θ<1,故m×n==4sin2θ∈,符合该条件的是3. 5.折扇又名“撒扇”“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其平面图如图2的扇形AOB,其中∠AOB=120°,OA=2OC=2,点E在弧CD上,则·的最小值是 (　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 解析:选C　以O为原点,OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,),B(2,0),设E(cos θ,sin θ), 0°≤θ≤120°,·=(-1-cos θ,-sin θ)·(2-cos θ,-sin θ)=(-1-cos θ)·(2-cos θ)-(-sin θ)·sin θ =-sin θ-cos θ-1=-2sin(θ+30°)-1,所以当θ=60°时,·取得最小值-2-1=-3. 6.(多选)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 (　　) A.||=|| B.||=|| C.·=· D.·=· 解析:选AC　因为||==1,||==1,所以A项正确.因为||=,||==,当α=,β=时,||≠||,所以B项错误.因为=(1,0),=(cos(α+β),sin(α+β)),=(cos α,sin α),=(cos β,-sin β),所以·=cos(α+β),·=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以C项正确.因为·=cos α,·=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(β+α+β)≠cos α,所以D项错误.故选AC. 7.(5分)已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b=　　　　.  解析:因为a=(2sin 13°,2sin 77°),所以|a|===2.又因为|a-b|=1,向量a与a-b的夹角为,所以cos ====,所以a·b=3. 答案:3 8.(5分)已知A,B(1,4),且=(sin α,cos β),α,β∈,则α+β=　　　　.  解析:由题意知==(sin α,cos β),∴sin α=-,cos β=.又∵α,β∈,∴α=-,β=或β=-.∴α+β=或α+β=-. 答案:或- 9.(5分)定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2,0),b=(1,),则|a*(a+b)|=　　　　.  解析:因为a=(2,0),b=(1,), 所以a+b=(3,).所以|a|=2,|a+b|=2. 所以cos<a,a+b>==. 因为<a,a+b>∈[0,π],所以sin<a,a+b>=. 所以|a*(a+b)|=2×2×=2. 答案:2 10.(10分)已知向量a,b满足|a|=1,(a-b)⊥(3a-b),求a与b的夹角的最大值. 解:设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π]. 因为(a-b)⊥(3a-b),所以(a-b)·(3a-b)=0. 整理可得3a2-4a·b+b2=0, 即3|a|2-4a·b+|b|2=0. 将|a|=1代入3|a|2-4a·b+|b|2=0, 可得3-4|b|cos θ+|b|2=0, 整理可得cos θ=+≥2=, 当且仅当=,即|b|=时取等号, 故cos θ≥,结合θ∈[0,π],可知θ的最大值为. 11.(10分)已知向量a=,b=(2cos θ,2sin θ),0<θ<π. (1)若a∥b,求cos θ的值;(4分) (2)若|a+b|=|b|,求sin的值.(6分) 解:(1)因为a∥b,所以-×2sin θ=×2cos θ.即-sin θ=cos θ,所以tan θ=-.又0<θ<π,所以θ=,所以cos θ=-. (2)因为|a+b|=|b|,所以|a+b|2=|b|2,化简得|a|2+2a·b=0,又a=,b=(2cos θ,2sin θ),则|a|2=1,a·b=-cos θ+sin θ,所以sin θ-cos θ=-,则sin=-,由0<θ<π,得θ-∈,所以θ-∈,所以cos==,所以sin=sin=sincos+cossin=. 12.(15分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,sin 2x+m). (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;(8分) (2)当x∈时,-4<f(x)<4恒成立,求实数m的取值范围.(7分) 解:(1)由题意,得f(x)=a·b=2cos2x+sin 2x+m=2×+sin 2x+m=sin 2x+cos 2x+m+1=2sin+m+1,所以函数f(x)的最小正周期T==π. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为,. (2)由(1)知,f(x)在上单调递增, 所以当x=时,f(x)的最大值等于m+3. 当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.因为-4<f(x)<4在上恒成立, 所以解得-6<m<1. 所以实数m的取值范围为(-6,1). 学科网（北京）股份有限公司 $