6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长为1,则|a-b|= (　　) A.2 B. C.2 D.3 解析:选B　由题图可知,a=(3,1),b=(1,2), ∴a-b=(2,-1),|a-b|==,故选B. 2.已知向量a=(1,2),b=(m,-1),若a⊥b,则|b|= (　　) A. B.20 C.2 D. 解析:选D　因为a⊥b,所以a·b=m-2=0,解得m=2.所以b=(2,-1).所以|b|==,故选D. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析:选D　因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D. 4.已知向量a=(1,-3),b=(x,-1),若 a-b与 b的夹角为锐角,则x的取值范围为 (　　) A.(-2,1) B.(-1,2) C.∪ D.∪ 解析:选C　因为a=(1,-3),b=(x,-1),所以a-b=(1-x,-2). 由于向量a-b与b的夹角为锐角,所以(a-b)·b>0,并去掉两者同向共线的情况, 则(1-x)x+2>0,且-2x≠x-1,解得x∈∪, 则x的取值范围为∪. 5.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= (　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 解析:选C　由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为<a,c>=<b,c>,所以cos<a,c>=cos<b,c>,即=,即=3+t,解得t=5,故选C. 6.(多选)已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是 (　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos<a,b>= D.向量a+b在a上的投影向量为2a 解析:选BD　因为向量a=(1,0),b=(1,2),所以a+b=(1+1,0+2)=(2,2).所以|a+b|= =4,A错误.a·(a+b)=1×2+0×2=2,B正确.由向量的夹角公式,可得cos<a,b>==,C错误.向量a+b在a上的投影向量为·=×a=2a,D正确.故选BD. 7.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||,若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选B　如图,以点B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系.设||=d,则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),设P(p,0),其中0≤p≤2d, 所以=(2d-p,0),=(d-p,2), 则+3=(5d-4p,6), 所以|+3|=≥6, 当且仅当5d=4p,即p=时取等号. 所以|+3|的最小值是6. 8.如图,正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动.若||=a,·≤2,则a的最大值是 (　　) A.1 B. C.2 D.3 解析:选A　设∠DAO=α, 所以B(asin α+acos α,acos α),C(asin α,asin α+acos α), 所以·=asin α(asin α+acos α)+acos α(asin α+acos α) =a2(sin α+cos α)2=a2(1+sin 2α)≤2,即a2≤=1,当且仅当α=时取等号,所以a的最大值是1. 9.(5分)已知向量a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=　　　　. 解析:∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4. 答案:4 10.(5分)已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)·b,则|c|等于　　　　.  解析:易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).所以|c|==8. 答案:8 11.(5分)已知向量=(-1,k),=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的取值可能是　　　　.  解析:因为=(-1,k),=(2,1),所以=-=(3,1-k). 若A=90°,则·=0,∴-2+k=0,解得k=2;若B=90°,则·=0,∴-3+k(1-k)=0,无解;若C=90°,则·=0,∴6+(1-k)=0,解得k=7. 答案:2或7 12.(10分)已知a=(1,2),b=(1,-1). (1)若θ为2a+b与a-b的夹角,求θ的值;(5分) (2)若2a+b与ka-b垂直,求k的值.(5分) 解:(1)因为a=(1,2),b=(1,-1), 所以2a+b=(3,3),a-b=(0,3). 所以cos θ===. 因为θ∈[0,π],所以θ=. (2)ka-b=(k-1,2k+1),依题意(3,3)·(k-1,2k+1)=0,所以3k-3+6k+3=0.所以k=0. 13.(10分)在平面直角坐标系中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(5分) (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.(5分) 解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的两条对角线的长分别为2,4. (2)由题设知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t),由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0.从而5t=-11,所以t=-. 14.(15分)在平面直角坐标系中,已知向量=,=,=(其中m∈R),D为坐标平面内一点. (1)若A,B,C三点共线,求m的值;(4分) (2)若向量与的夹角为,求m的值;(5分) (3)若四边形ABCD为矩形,求点D的坐标.(6分) 解:(1)因为向量=,=,=,所以=-=(2,2),=-=(m-1,4).由A,B,C三点共线知,∥,即2(m-1)-2×4=0,解得m=5. (2)由(1)得cos<,>= ==,解得m=1. (3)设D(x,y),则=(2,2),=-=(m-3,2),=-=(x-m,y-3).若四边形ABCD为矩形,则⊥,即·=2(m-3)+4=0,解得m=1. 由-=,得 解得x=-1,y=1,故D(-1,1). 学科网（北京）股份有限公司 $