9.2.2 总体百分位数的估计 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

9.2.2　总体百分位数的估计 [课时跟踪检测] 1.下列一组数据的第25百分位数是 (　　) 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6 A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5 解析:选A　把这组数据按照由小到大排列,可得2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由i=10×25%=2.5,不是整数,则第3个数据3.2是第25百分位数. 2.某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是103分,则数学成绩不小于103分的人数至少为 (　　) A.220 B.240 C.250 D.300 解析:选B　由1 200×80%=960人,所以小于103分的学生最多有960人,所以大于或等于103分的学生有1 200-960=240人. 3.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是 (　　) A.90 B.90.5 C.91 D.91.5 解析:选B　把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是=90.5. 4.一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,且这组数据的一个四分位数是15,则它是 (　　) A.15%分位数 B.25%分位数 C.50%分位数 D.75%分位数 解析:选B　将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,一共11项.由11×25%=2.75,故25%分位数是15. 5.已知一组数据39,41,44,46,49,50,x,55的第65百分位数是50,那么实数x的取值范围是 (　　) A.[50,+∞) B.(50,+∞) C.(50,55) D.[50,55] 解析:选A　∵8×65%=5.2,∴这组数据按从小到大顺序排列后,第65百分位数是第6个数,因此 x不小于50,即x∈[50,+∞). 6.已知10个样本数据的25%分位数为x0,若分别去掉其中最大的和最小的一个数,记剩下的8个样本数据的25%分位数为x'0,则 (　　) A.x0<x'0 B.x0≤x'0 C.x0>x'0 D.x0≥x'0 解析:选B　设10个样本数据从小到大排列为x1,x2,x3,…,x10, 由10×25%=2.5,所以x0=x3,去掉最大和最小各一个数后剩下的8个样本数据为x2,x3,…,x9,因为×8=2,所以剩下8个数据的25%分位数x'0=(x3+x4). 又x3≤x4,所以(x3+x4)≥x3,即x0≤x'0. 7.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示,6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况,某机构从该地中学生中随机抽取100名学生,测量他们的体重(单位:千克),根据测量数据,按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六组,得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据,估计该地中学生体重的第75百分位数是 (　　) A.55 B.57.25 C.58.75 D.60 解析:选C　因为(0.01+0.03+0.08)×5=0.6<0.75,0.6+0.04×5=0.8>0.75,所以该地中学生体重的第75百分位数在[55,60)内.设第75百分位数为m,则(m-55)×0.04+0.6=0.75,解得m=58.75. 8.(多选)为了养成良好的运动习惯,某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位:分钟),分别为53,57,45,61,79,49,x,若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3,则x的值可能为 (　　) A.58 B.59 C.62 D.64 解析:选AD　将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79,若x≤57,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57,它们的差为4,不符合条件.若x≥79,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61,它们的差为18,不符合条件,若57<x<79,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和x),则|x-61|=3,解得x=58或x=64,符合条件. 9.(5分)已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列): 甲组:27,28,39,40,m,50; 乙组:24,n,34,43,48,52. 若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则等于　　　　.  解析:因为30%×6=1.8,80%×6=4.8,所以第30百分位数为n=28,第80百分位数为m=48,所以==. 答案: 10.(5分)某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组: [13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为　　　　秒. 解析:设成绩的70%分位数为x,因为=0.55,=0.85,所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5. 答案:16.5 11.(10分)某省教育厅为了了解2025年高考考生的实际答卷情况,随机抽取了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下的频率分布表: 分组 频数 频率 [80,85) 1 0.01 [85,90) 2 0.02 [90,95) 4 0.04 [95,100) 14 0.14 [100,105) 24 0.24 [105,110) 15 0.15 [110,115) 12 0.12 [115,120) 9 0.09 [120,125) 11 0.11 [125,130) 6 0.06 [130,135] 2 0.02 合计 100 1 (1)估计样本中考生数学成绩的第60百分位数和第80百分位数;(6分) (2)估计2025年高考考生的数学成绩的第90百分位数.(结果保留整数)(4分) 解:(1)从频率分布表,得前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60, 前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92,所以样本中的考生数学成绩的第60百分位数为110分. 样本数据的第80百分位数一定在[115,120)内, 因为115+5×≈119,所以估计样本中的考生数学成绩的第80百分位数为119分. (2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,所以第90百分位数一定在[120,125)内. 因为120+5×≈124,所以估计2025年高考考生的数学成绩的第90百分位数为124分. 12.(10分)某种产品的质量以其质量指标值m衡量,并按照质量指标值m划分等级如表: 质量指标值m m<85 85≤m<105 m≥105 等级 三等品 二等品 一等品 现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本,检验其质量指标值m,得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值,不含最大值). (1)求第75百分位数(精确到0.1);(4分) (2)在样本中,按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品,则这8件产品中,一等品的件数是多少.(6分) 解:(1)由题意可得,(0.002 5×2+0.009 0+0.010 0+0.020 0+0.026 0+x)×10=1,解得x=0.030,所以[65,105)的频率为0.625,[105,115)的频率为0.26.则第75百分位数在[105,115)内,所以第75百分位数为105+10×≈109.8. (2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知,样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为 (0.002 5+0.010 0)×10=0.125, (0.020 0+0.030 0)×10=0.5, (0.026 0+0.009 0+0.002 5)×10=0.375, 所以在样本中,三等品、二等品、一等品的件数分别为25,100,75.所以按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品,则应抽取的一等品的件数为3件. 学科网（北京）股份有限公司 $