6.4.3 第2课时 正弦定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.4.3 第2课时 正弦定理 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中,a=5,b=3,则的值为 (　　) A. B. C. D. 答案:A 2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:选B　由题意有=b=,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.故选B. 3.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,sin B=,c=7,则a等于 (　　) A.2 B.4 C.5 D.10 解析:选C　由题意可知,在锐角△ABC中,sin B=,则cos B=, 故sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=. 由正弦定理=, 得a===5. 4.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 (　　) A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则a=b C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B D.在△ABC中,= 解析:选ACD　由正弦定理易知A、C、D正确.由sin 2A=sin 2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B或A+B=,∴a=b或a2+b2=c2,B错误. 5.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为 (　　) A.60° B.75° C.90° D.115° 解析:选B　不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有==,即=, 整理,得(3-)sin A=(3+)cos A.所以tan A=2+>0,所以A=75°. 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于 (　　) A. B.- C.± D. 解析:选A　由题意,得8sin B=5sin C=5sin 2B=10sin Bcos B,又sin B≠0,所以cos B=, 所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=. 7.(多选)根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是 (　　) A.a=8,b=16,A=30°,有一解 B.b=18,c=20,B=60°,有两解 C.a=5,c=2,A=90°,无解 D.a=30,b=25,A=150°,有一解 解析:选ABD　对于A,∵=,∴sin B==1,∴B=90°,即只有一解,故A正确; 对于B,∵=,∴sin C==,且c>b,∴C>B,即有两解,故B正确; 对于C,∵A=90°,a=5,c=2,∴b===,有解,故C错误; 对于D,∵=,∴sin B==.又b<a,即只有一解,故D正确. 8.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　法一:由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=. 法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.又b2=ac,所以3ac=b2,所以(a+c)2=b2+3ac=,a+c=b.由正弦定理得sin A+sin C=sin B=. 9.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等 解析:选ABD　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;取AC的中点E(图略),则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确. 10.(5分)在钝角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,A=30°,c=,则△ABC的面积为　　　.  解析:在钝角△ABC中,由a=1,A=30°,c=,利用正弦定理可知C=120°,得到B=30°,利用面积公式得S△ABC=×1××=. 答案: 11.(5分)在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则++=　　　　.  解析:∵△ABC的外接圆直径为2R=2,∴===2R=2,∴++=2+1+4=7. 答案:7 12.(5分)在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角的正切值为　　　　.  解析:不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有==,即=.整理得(3-)sin A=(3+)cos A.∴tan A=2+. 答案:2+ 13.(10分)在△ABC中,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc. (1)求角A的大小;(5分) (2)求的值.(5分) 解:(1)由题意知,b2=ac,a2-c2=ac-bc⇒cos A===. ∵A∈(0,π),∴A=. (2)由b2=ac,得=,∴=sin B·=sin B·=sin A=. 14.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且b(a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=6S. (1)求角B的大小;(5分) (2)若a=b+1,c=b-2,求cos A,cos C的值.(5分) 解:(1)由S=absin C及b(a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=6S, 得(a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=3asin C. 由正弦定理得(a-b+c)(a+b+c)=3ac, 所以a2+c2-b2=ac. 由余弦定理得cos B===, 因为0<B<π,所以B=. (2)因为a2+c2-b2=ac,a=b+1,c=b-2, 所以(b+1)2+(b-2)2-b2=(b+1)(b-2), 解得b=7,所以a=8,c=5. 所以cos A===, cos C===. 15.(15分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B;(8分) (2)若b2+c2=8,求b,c.(7分) 解:(1)因为D为BC的中点, 所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=, 解得DC=2,所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=. 在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin B==, 所以cos B==. 所以tan B==. (2)因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理,得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6, 得BD=,所以a=2. 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===-, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc=bc= =,解得bc=4. 则由解得b=c=2. 学科网（北京）股份有限公司 $