6.4.3 第1课时 余弦定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.4.3 第1课时 余弦定理 [课时跟踪检测] 1.(2025·新课标Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析:选A　法一:∵BC<AC,BC<AB,三边相等时,A=60°,∴A<60°,结合选项可知A正确. 法二:∵cos A= ===, 且A∈(0,π),∴A=45°. 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2+c2=ac,则角B为 (　　) A. B. C.或 D.或 解析:选A　∵a2-b2+c2=ac,∴cos B===.又B为△ABC的内角,∴B=. 3.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则 (　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析:选AD　由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2. 又a=2,cos A=,所以B=A=30°,故选AD. 4.若△ABC的三条边长分别为5,7,8,则△ABC的最大角与最小角之和为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　不妨设a=5,b=7,c=8,根据大边对大角可知,A<B<C.由余弦定理的推论可得 cos B===.又因为0<B<π,所以B=,则A+C=π-B=π-=,所以△ABC的最大角与最小角之和为. 5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　设该等腰三角形为△ABC,且A,B,C所对的边分别为a,b,c,顶角为C,周长为l. 因为l=5c,所以a=b=2c,由余弦定理,得cos C===. 6.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:选D　在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,所以由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.故选D. 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为 (　　) A. B.16 C. D.32 解析:选B　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc.因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时等号成立. 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为 (　　) A.7.5 B.7 C.6 D.5 解析:选D　∵bcos A+acos B=c2,∴由余弦定理可得b·+a·=c2.整理可得2c2=2c3,解得c=1.则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5. 9.(多选)已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,对于△ABC,有如下命题,其中正确的有 (　　) A.sin(B+C)=sin A B.cos(B+C)=cos A C.若a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形 D.若a2+b2<c2,则△ABC为锐角三角形 解析:选AC　依题意,在△ABC中,B+C=π-A,sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,A正确;cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,B不正确;因为a2+b2=c2,则由余弦定理得cos C==0,而0<C<π,即有C=,所以△ABC为直角三角形,C正确;因为a2+b2<c2,则cos C=<0,而0<C<π,即有<C<π,所以△ABC为钝角三角形,D不正确.故选AC. 10.(5分)在△ABC中,a=8,c=7,cos A=,则b=　　　　,∠C=　　　　.  解析:由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0,故b=-3(舍去)或b=5,故cos∠C==,而∠C为三角形内角,故∠C=. 答案:5　 11.(5分)已知2,4,a是一个锐角三角形的三边长,请写出一个a的值　　　.  解析:因为2,4,a是一个锐角三角形的三边长, 所以解得2<a<2,任取一个a的值4. 答案:4(答案不唯一) 12.(5分)在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是　　　　.  解析:∵在△ABC中,a=8,b=7,cos C=,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=64+49-104=9,即c=3.∴最大内角为A,则cos A===-. 答案:- 13.(10分)在△ABC中,a+c=6,b=2,cos B=,求a,c的值. 解:由余弦定理,得cos B=, 有=,得a2+c2=ac+4, 由a+c=6,得(a+c)2=a2+2ac+c2=36, 所以ac+4=36-2ac,解得ac=9, 所以解得a=3,c=3. 14.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1. (1)求C的大小;(5分) (2)求AB的长.(5分) 解:(1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),∴C=. (2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根, ∴∴AB2=b2+a2-2abcos C=(a+b)2-ab=10.∴AB=. 15.(10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-. (1)求B的大小;(6分) (2)若b=,a+c=4,求a的值.(4分) 解:(1)由余弦定理,得cos B=, cos C=, ∴原式化为·=-, 整理,得a2+c2-b2+ac=0, ∴cos B===-. 又0<B<π,∴B=. (2)将b=,a+c=4,B=, 代入b2=a2+c2-2accos B,得 13=a2+(4-a)2-2a(4-a)cos, 即a2-4a+3=0.解得a=1或a=3. 学科网（北京）股份有限公司 $