6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，，，四点的坐标分别为，，，，则此四边形为（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】选A.因为，，所以，所以 与 共线.又，所以该四边形为梯形. 2．人骑自行车的速度是，风速为，则人的实际速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.速度是既有大小又有方向的量，所以人的实际速度.故选C. 3．已知点，在单位圆上，，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】选A.，当 时，取最小值，因此 的最小值为2.故选A. 4．[2024·河南焦作期中]已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（ ） A. 5倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 2倍 【答案】A 【解析】选A.设 的中点为，因为，所以，所以， 所以点D是线段 的五等分点，所以，所以 的面积是 的面积的5倍.故选A. 5．河水的流速为，一艘小船以垂直于河岸方向的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意知，，作出示意图如图.所以. 6．（多选）已知点为外接圆的圆心，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.令，则由勾股定理易得，所以 （舍去）或，所以，所以.故选. 7．某人从点向正东走到达点，再向正北走到达点，则此人的位移的大小是__，方向是北偏东________. 【答案】60； 【解析】如图所示，此人的位移是，且， 则， ， 所以 .所以的方向为北偏东 . 8．在四边形中，已知，，，则四边形的面积是__. 【答案】30 【解析】由已知得， 所以，， 又因为， 即，所以四边形 为矩形. 又， ， 所以四边形 的面积. 9．如图，，，三点在半径为1的圆上运动，是圆外一点，且，，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】如图，连接，由题意可知 为圆 的直径，所以 为 的中点， 则，当且仅当，同向时取等号， 所以 的最大值为7. 10．如图,四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），,分别在边,上，且四边形是矩形，试用向量方法证明：. 证明：设正方形的边长为1， ， 以 为坐标原点,，所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系， 则，， ，， 所以， ， 所以 , , 所以，所以. B 能力提升 11．已知点，，不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段的反向延长线上 C. 点在线段的延长线上 D. 点不在直线上 【答案】B 【解析】选B.因为，所以，所以，即点 在线段 的反向延长线上，故选B. 12．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D. 设 与 交于点，以 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，，，， . 13．一质点受到同一平面上的三个力，，单位：的作用而处于平衡状态，已知，的夹角为 ，且，的大小都为，则的大小为______. 【答案】6 【解析】设三个力，，分别对应的向量为,，,则由题知，所以， 所以， 又,,，所以，所以 的大小为. 14．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，，交于. （1） 证明：； （2） 请说明当点在的什么位置时，最小？ 【答案】 （1） 证明：以 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设，，且， 所以，，,，所以，， 所以，所以，即. （2） 解：易知,， ,,所以，当且仅当 时取等号，所以点 在 的中点时，最小. C 素养拓展 15．[2024·广西柳州期中]已知是内的一点，若，，的面积分别记为，，，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知是的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A. 如图，是 的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，则，，，，，因此.同理得，.于是得.因为，所以由“奔驰定理”，得，所以. 16．已知,,现有一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为;另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为.设,在时分别在,处,问当时，所需的时间为多少？ 解：,,其单位向量的坐标为；,, 其单位向量的坐标为. 由题意知,, 所以, . 由,, 得,, 所以,. 因为,所以, 即, 解得. 即当 时，所需的时间为. 学科网（北京）股份有限公司 $