6.3.1 平面向量基本定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.3.1　平面向量基本定理 [课时跟踪检测] 1.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ,μ∈R)的形式,下列关于向量a,b的说法正确的是 (　　) A.向量a,b的方向相同 B.向量a,b中至少有一个是零向量 C.向量a,b的方向相反 D.当且仅当λ=μ=0时,λa+μb=0 解析:选D　因为任一向量m=λa+μb(λ,μ∈R),根据平面向量基本定理得,向量a,b不共线,故A、C不正确.因为a,b是一个基底,所以不能为零向量,故B不正确.因为a,b不共线,且不能为零向量,所以若λa+μb=0,当且仅当λ=μ=0,故D正确.故选D. 2.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是 (　　) A.a=0,b=e1-e2 B.a=3e1-3e2,b=e1-e2 C.a=e1-2e2,b=e1+2e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 解析:选C　对于A,零向量与任意向量均共线,所以这两个向量不可以作为基底.对于B,因为a=3e1-3e2,b=e1-e2,所以a=3b.所以这两个向量不可以作为基底.对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解,所以这两个向量不共线,可以作为一个基底.对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b.所以这两个向量不可以作为基底.故选C. 3.设{e1,e2}是平面内的一个基底,若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线,则λ= (　　) A. B.- C.-3 D.3 解析:选B　因为a与b共线,所以存在μ∈R,使得a=μb,即-3e1-e2=μ(e1-λe2).故μ=-3,-λμ=-1,解得λ=-.故选B. 4.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则等于 (　　) A.-2 B.- C.- D. 解析:选A　∵=+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-.因此=-2. 5.已知A,B,D三点共线,且对任意一点C,有=+λ,则λ等于 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　由A,B,D三点共线,可设=k(k∈R).又=-, 则=k-k,所以=+=k+(1-k).又=+λ, 由平面向量基本定理得 解得λ=k=-. 6.如图,点C在线段BD上,且BC=3CD,则= (　　) A.3-2 B.4-3 C.- D.- 解析:选C　因为BC=3CD,所以=. 因为=+=+=+(-),所以=-,即=-.故选C. 7.已知向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系式是 (　　) A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 解析:选A　由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,所以消去λ得x+y=2. 8.在▱ABCD中,=,=2,=x+(1-x),x∈R.若AP∥MN,则x= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,因为=,=2,所以=-=-=+=+. 又AP∥MN, 所以=λ=λ+λ=x+(1-x),则解得λ=,x=. 9.(多选)已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列等式成立的是 (　　) A.||=||=|| 　B.++=0 C.=+ 　D.S△MBC= 解析:选BD　如图,M为△ABC的重心,则++=0,A错误,B正确;=+=+=+(-)=+,C错误; 由DM=AD得S△MBC=S△ABC,D正确. 10.(5分)已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y=　　　　.  解析:∵e1,e2不共线,∴ 解得∴x+y=0. 答案:0 11.(5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.  解析:由题意,得=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-. 答案:　- 12.(5分)在△ABC中,已知点D在线段BC的延长线上,且3+=0,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若=-x+,则x的取值范围是　　　.  解析:如图所示,设=t,则=+=+t=+t(-)=-t+(1+t).因为3+=0,点O在线段CD上(与点C,D不重合),所以t∈(0,3),又=-x+(1+x),所以x∈(0,3). 答案:(0,3) 13.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一个基底;(3分) (2)以{a,b}为一个基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3分) (3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.(4分) 解:(1)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得⇒∴λ不存在,故a与b不共线,{a,b}可以作为一个基底. (2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.∵e1与e2不共线, ∴解得∴c=2a+b. (3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. ∴解得 14.(10分)如图,在△ABC中,=2,E是AD的中点,设=a,=b. (1)试用a,b表示,;(5分) (2)若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,求·.(5分) 解:(1)因为=2,所以=,所以=+=+=+(-)=+=a+b.因为E是AD的中点, 所以===-+(-)=-+=-a+b. (2)因为|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos <a,b>=1×1×=, 由(1)知,=a+b,=-a+b,所以·=·=-a2-a·b+b2=--×+=-. 15.(15分)如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M.过点M的直线l与OA,OB分别交于点E,F. (1)试用,表示向量;(7分) (2)设=λ,=μ,求证:+是定值.(8分) 解:(1)由A,M,D三点共线可得,存在实数m,使得=m+(1-m).又=,故=m+.由C,M,B三点共线可得,存在实数n,使得=n+(1-n).又=,故=+(1-n). 由题意知,不共线,所以 解得故=+. (2)证明:由E,M,F三点共线,可设=k+(1-k)(k∈R), 由=λ,=μ, 得=kλ+(1-k)μ. 由(1)知=+,所以 即所以+=7,故+是定值. 学科网（北京）股份有限公司 $