6.3.1 平面向量基本定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.1　平面向量基本定理 1.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（　　） A.a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2 B.a＝4e1－2e2，b＝e2－2e1 C.a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2 D.a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2 2.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝（　　） A.（e1＋e2） B.（e1－e2） C.（2e2－e1） D.（e2－e1） 3.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 4.在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝（　　） A. B. C.－ D.－ 5.〔多选〕如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（　　） A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2∈R）不一定在平面α内 D.对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 6.〔多选〕如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则（　　） A.P为线段OC的中点时，μ＝ B.P为线段OC的中点时，μ＝ C.无论μ取何值，恒有λ＝ D.存在μ∈R，λ＝ 7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝　　　　.（用a，b表示） 8.已知{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ＝　　　　. 9.设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝　　　　. 10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. （1）证明：{a，b}可以作为一个基底； （2）以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 11.如图所示的平行四边形ABCD中，点E，F满足＝2，＝，G为EF的中点，若＝λ＋μ，则的值为（　　） A. B. C. D. 12.〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以{i，j}为该平面内一个基底，下列选项正确的是（　　） A.＝2i＋3j B.＝3i＋4j C.＝－5i＋j D.＝5i－j 13.在△ABC中，D是直线AB上的点，若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝　　　　. 14.在△COB中，点D为线段OB上靠近点B的三等分点，点A为BC的中点. （1）用，表示，； （2）若向量与λ＋平行，求λ的值. 15.已知O是线段AB外一点，若＝a，＝b. （1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（a＋b）； （2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示＋＋； （3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论.（不必证明） 说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 1.D　A选项，因为a＝4b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，A错误；B选项，因为a＝－2b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，B错误；C选项，因为a＝3b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，C错误；D选项，设a＝mb（m∈R），则e1－2e2＝2me1＋4me2，则无解，故a，b不共线，则a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2可以作为基底，D正确.故选D. 2.A　因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝（＋）＝（e1＋e2）.故选A. 3.C　因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.故选C. 4.A　画出示意图如图所示，由题意可得，A，B，D三点共线，C为A，B，D所在直线外一点，且＝＋λ，则＋λ＝1，所以λ＝. 5.AB　A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对. 6.AC　由题意知＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，＝，则1－λ＝μ，且λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C. 7.a＋b　解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b. 8.1　解析：因为a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，所以存在实数t，使得a＝tb，即4e1－2e2＝t（－2e1＋λe2）＝－2te1＋λte2，所以解得 9.9　解析：考虑以{，}为基底来计算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9. 10.解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R）， 则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）. 由e1，e2不共线，得方程组无解， 所以λ不存在. 故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底. （2）设c＝ma＋nb（m，n∈R）， 则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 11.A　连接AE，AF（图略），因为＝2，＝，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，又G为EF的中点，所以＝＋＝（＋）＋（＋）＝＋，所以λ＝，μ＝，所以＝＝.故选A. 12.ACD　因为{i，j}为该平面内一个基底，由图可知i⊥j，过点A作x，y轴的垂线，垂足分别为C，E两点；再过点B作x，y轴的垂线，垂足分别为F，D两点；过A作BF的垂线，垂足为点G，则＝2i，＝3j，＝－3i，＝4j，＝－5i，＝j.所以在矩形OCAE中，＝2i＋3j，A正确；在矩形OFBD中，＝－3i＋4j，B错误；在Rt△AGB中，＝－5i＋j，C正确；＝－＝5i－j，D正确. 13.　解析：依题意作图，设＝μ＝μ（－）＝－μ＋μ ，由条件＝＋，∴μ＝－，＝μ＝－，＝－，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝. 14.解：（1）因为在△COB中，点D为线段OB上靠近点B的三等分点，点A为BC的中点， 所以＝＋＝＋2＝＋2（－）＝2－，＝， 所以＝－＝2－－＝2－. （2）结合（1）可知λ＋＝λ＋2－＝（2＋λ）－，又向量与λ＋平行， 所以存在k∈R，使得λ＋＝k， 所以（2＋λ）－＝k（2－）， 所以解得k＝，λ＝，所以λ的值为. 15.解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）. （2）由已知得＝（＋），＝（＋），＝（＋）， 则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b. （3）设A1是AB的二等分点，△OAA1，△OA1B的重心依次为G1，G2，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b）， 设A1，A2，A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b）， 或设A1，A2，…，An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1）； 设A1，A2，…，An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）； 设A1，A2，…，An－1是线段AB的n等分点，△OAA1，△OA1A2，…，△OAn－1B的重心依次为G1，G2，…，Gn，则＋＋…＋＝（a＋b）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $