6.1 平面向量的概念 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.1　平面向量的概念 [课时跟踪检测] 1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　因为速度、力和加速度既有大小又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3. 2.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析:选C　速度、位移是向量,向量不能比较大小. 3.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.||=|| B.若e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2| C.若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线 D.若||>||,则> 解析:选AB　与方向相反,它们的模相等,A正确;所有的单位向量的模相等,B正确;向量的共线不同于有向线段共线,故当与共线时,A,B,C,D四点不一定共线,C错误;向量的模可以比较大小,而向量不能比较大小,D错误. 4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 (　　) A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量 解析:选D　若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量.所以A、B、C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量. 5.(多选)给出下列四个条件,其中能使a∥b成立的条件是 (　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 解析:选ACD　对于A,若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;对于B,若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;对于C,方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;对于D,零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b. 6.(多选)下列结论正确的是 (　　) A.“a∥b且|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件 B.“a∥b且|a|=|b|”是“a=b”的既不充分也不必要条件 C.“a与b方向相同且|a|=|b|”是“a=b”的充要条件 D.“a与b方向相反或|a|≠|b|”是“a≠b”的充分不必要条件 解析:选ACD　若a=b,则a与b方向相同,模相等,结合充分、必要条件的定义知A、C、D正确,B错误. 7.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,下列关系错误的是 (　　) A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} 解析:选B　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量,故B错误. 8.在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB=30°,||=2,则||等于 (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选A　如图,连接AC,由||=||,得∠ABC=∠OCB=30°.因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°,所以||=||=1. 9.(多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模为模的倍 D.与不共线 解析:选ABC　A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D错误. 10.(多选)如图,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 (　　) A.向量,的模相等 B.||= C.向量,共线 D.||+||=10 解析:选BC　因为||==,||==2,所以||≠||,所以A错误;因为||==,所以B正确;因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量,共线,所以C正确;因为||+||=+=5≠10,所以D错误.故选BC. 11.(5分)已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=　　　　;若|m|=1,则m是　　　　　　　.  解析:∵A,B,C不共线,∴与不共线. 又∵m与,都共线,∴m=0.若|m|=1, 则m是单位向量. 答案:0　单位向量 12.(5分)中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如图,在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”.若马在B处或C处,则表示马走了“一步”的向量共有　　　　个.  解析:此题中,马在A处有两条路可走,在B处有三条路可走,在C处有八条路可走. 如图,以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的共3个;以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的共8个.所以共有11个. 答案:11 13.(5分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中,相等向量有　　　　对. 解析:已知CD∥AB,则△OCD∽△OAB,所以=,所以=.因为MN∥AB,所以△OCN∽△ACB,△ODM∽△BDA,所以=,=,所以=,所以OM=ON.又M,O,N三点共线, 所以=,=.故相等向量有2对. 答案:2 14.(10分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量?(5分) (2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.(5分) 解:(1)当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点, 模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个,为,, 模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个,为,,总共有8个. (2)由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个. 15.(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=. (1)画出所有的向量;(4分) (2)求||的最大值与最小值.(6分) 解:(1)画出所有的向量,如图所示. (2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值,为=; ②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值,为=,所以||的最大值为,最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $