4.1 认识三角形 讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

认识三角形 一、教学要求 教学目标 （1）认识三角形的概念及基本要素； （2）掌握三角形三个角、三条边之间的关系，会将三角形分类； （3）了解三角形的内角平分线、高、中线. 重难点分析 （1）重点：三角形的三边关系，会给三角形分类； （2）难点：利用三角形的内角和求角度. 二、知识讲解 三角形的概念 （1）三角形的定义 三角形是由不在同一条直线上的3条线段，首尾依次相接组成的图形． 顶点是、、的三角形，记作，读作“三角形”． 【易错提示】 （1）三角形概念包含三层含义： ①顶点不在同一直线上； ②三条线段； ③首尾顺次连接． （2）三角形的表示方法中“”代表三角形，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即、、为同一三角形． （2）三角形的基本要素：边、顶点、角 ①组成三角形的线段叫做三角形的边．如：线段、、分别是三角形的三条边； ②相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．如：点、、分别是三角形的三个顶点； ③相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称为三角形的角．如：、、分别是三角形的三个内角． 例题 1 .如图所示： ( 1 )图中有几个三角形？把它们写出来． ( 2 )以为边的三角形共有几个？把它们写出来． ( 3 )是哪些三角形的角？把它们写出来． 练习 2 .如图，下列图形中是三角形的有           ． 3 .如图所示，回答下列问题： ( 1 )图中有几个三角形？试写出这些三角形． ( 2 )是哪几个三角形的内角？ ( 3 )以为边的三角形有哪几个？ 三角形的内角 【知识回顾】 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． （1）运用度量的方法，可以得出，但是测量可能会有误差； （2）通过剪拼或折叠的方法得意验证； 问题 ：你能从以上的操作过程中受到启发，相处证明“三角形内角和等于”的方法吗？ 定理：三角形的内角和是． 证明方法： 已知：． 求证：． 方法1: 证明：如图，过点作直线，使． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 同理． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． 方法2: 延长到点,作 (两直线平行,内错角相等) (两直线平行,同位角相等) (平角的定义), (等量代换), 即 方法3: 如图所示,过上任一点,作,交于,作交于. 例题 4 .图中的值为           ． 练习 5 .如图，，．则的度数是（   ）． A. B. C. D. 6 .如图，在中，点是边上一点，点是边上一点，且，，，则的度数是（  ）． A. B. C. D. 例题 7 .如图，已知直线，，，那么的大小为（   ）． A. B. C. D. 练习 8 .如图，在中，，过点作，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 9 .如图，，，，则的大小是           ． 三角形的分类 （1）按角分类     锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 （2）按边分类 按边分类： 等腰三角形与等边三角形之间的关系：     等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形；等边三角形是指三条边都相等的三角形； 等边三角形是特殊的等腰三角形，也称为正三角形． 例题 10 .设表示直角三角形．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示等腰直角三角形．则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（   ）． A. B. C. D. 练习 11 .试通过画图来判定，下列说法正确的是（   ）． A.一个直角三角形一定不是等腰三角形 B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D.一个等边三角形一定不是钝角三角形 12 .下面四个选项中，有一个是没有按同一标准进行分类的是（   ）． A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 （3）直角三角形性质 直角三角形的两个锐角互余； 反之，有两个角互余的三角形是直角三角形． 【注意】直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成． 例题 13 .如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数等于（  ）． A. B. C. D. 练习 14 .在中，，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 15 .已知中，，将沿向三角形内折叠，使点落在的内部，如图，则（   ）． A. B. C. D. 三角形的三边关系 【探究1】 某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边．可是每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来，你说小学生为什么会这样走？ 【答案】两点之间的所有连线中，线段最短． 【探究2】 壁虎要从点出发，沿着三角形的边爬到点，有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？ 分析：线路一：            线路二： 由 “ 两点之间，线段最短 ” 可知： 同理可得： （）定理：三角形两边之和大于第三边． 上述内容可以表示为：，，． 理论依据：两点之间，线段最短． （）推论：三角形两边之差小于第三边． 理论依据：由，根据不等式的性质，得． 【重点提示】 ①三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边， 即有，，三个不等式同时成立． ②判断三条线段能否构成三角形，可看两条较短线段之和是否大于较长线段，大于可构成，否则不能构成． 例题 16 .下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（  ）． A.，， B.，， C.，， D.，，  练习 17 .如图，为估计池塘岸边，的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离可能是（   ）． A.米 B.米 C.米 D.米 18 .有根木条，长度分别为，，，，选其中三根组成三角形，则可选择的方法有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 三角形的重要线段 （1）三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线和对边交点所形成的线段叫做三角形的角平分线．   【易错提示】 ①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线． ②三角形的角平分线位于三角形内部． ③三条角平分线都在三角形内部且交于一点。 （2）三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三条中线都在三角形内部且交于一点，交点叫做三角形的 重心 ． 如图，是的中线，则，． 三角形的一条中线把三角形的面积平分 ． 【易错提示】 ①三角形的三条中线是三条线段． ②三角形的三条中线位于三角形内部．  （3）三角形的高 定义：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高．   【易错提示】三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线．  高的叙述方法： ①是的高；②，垂足为；③点在上，且． 不同三角形的高线：    锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高． 锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于一点； 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点； 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，三条高所在直线相交于三角形外一点．  三角形三条高交于一点，可以交在三角形内部，也可交在直角顶点处，也可交在三角形外部，这点叫垂心 例题 19 .一定在内部的线段是（  ）． A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C.任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 练习 20 .如图所示，在中，边上的高是           ，边上的高是           ；在中，边上的高是           ，边上的高是           ；在中，边上的高是           ，边上的高是           ． 21 .下列说法正确的是（　　） A.三角形的角平分线、中线和高都是线段 B.直角三角形只有一条高线 C.三角形的中线可能在三角形的外部 D.三角形的高的交点在三角形内部 例题 22 .如图，已知是的中线，，，和的周长的差是（   ）． A. B. C. D.不能确定 练习 23 .如图，已知的周长为，，边上中线，周长为，           ． 24 .如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（   ）． A. B. C. D. 例题 25 .如图，线段是的中线，为的中点，若的面积为，则的面积为（   ）． A. B. C. D. 练习 26 .如图，点是的边上任意一点，点、分别是线段、的中点，则的面积等于的面积的（   ）． A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 27 . 如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是，那么的面积为（   ）． A. B. C. D. 例题 28 .有四个学生分别在下列四个三角形中，画边上高，其中画法正确的是（  ）． A. B. C. D. 练习 29 .如图所示，在中，于点，于点，于点，下列说法错误的是（   ）． A.是的边上的高 B.是的边上的高 C.是的边上的高 D.不是的高 30 .如图所示，，，则以为一条高线的三角形共有（  ）． A.个 B.个 C.个 D.个 例题 31 .如图，在中，，，于，于，与交于，则           ． 练习 32 .如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 33 .中，、的平分线相交于点． ( 1 )若，，则           ． ( 2 )若，则           ． ( 3 )若，则           ． ( 4 )你能找出与之间的数量关系是           ． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $ 认识三角形 一、教学要求 教学目标 （1）认识三角形的概念及基本要素； （2）掌握三角形三个角、三条边之间的关系，会将三角形分类； （3）了解三角形的内角平分线、高、中线. 重难点分析 （1）重点：三角形的三边关系，会给三角形分类； （2）难点：利用三角形的内角和求角度. 二、知识讲解 三角形的概念 （1）三角形的定义 三角形是由不在同一条直线上的3条线段，首尾依次相接组成的图形． 顶点是、、的三角形，记作，读作“三角形”． 【易错提示】 （1）三角形概念包含三层含义： ①顶点不在同一直线上； ②三条线段； ③首尾顺次连接． （2）三角形的表示方法中“”代表三角形，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即、、为同一三角形． （2）三角形的基本要素：边、顶点、角 ①组成三角形的线段叫做三角形的边．如：线段、、分别是三角形的三条边； ②相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．如：点、、分别是三角形的三个顶点； ③相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称为三角形的角．如：、、分别是三角形的三个内角． 例题 1 .如图所示： ( 1 )图中有几个三角形？把它们写出来． ( 2 )以为边的三角形共有几个？把它们写出来． ( 3 )是哪些三角形的角？把它们写出来． 【答案】 (1)图中共有个三角形， 它们是，，，，，，． (2)以为边的三角形共有个，，，，． (3)是，的角． 【解析】 (1)图中共有个三角形， 它们是，，，，，，． (2)以为边的三角形共有个，，，，． (3)是，的角． 练习 2 .如图，下列图形中是三角形的有           ． 【答案】 ① 【解析】 根据三角形定义可知：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的闭合图形叫做三角形，故只有①是三角形． 3 .如图所示，回答下列问题： ( 1 )图中有几个三角形？试写出这些三角形． ( 2 )是哪几个三角形的内角？ ( 3 )以为边的三角形有哪几个？ 【答案】 (1)图中有个三角形，它们是，，，，，，，． (2)是和的内角． (3)以为边的三角形有和． 【解析】 (1)图中有个三角形，它们是，，，，，，，． (2)是和的内角． (3)以为边的三角形有和． 三角形的内角 【知识回顾】 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． （1）运用度量的方法，可以得出，但是测量可能会有误差； （2）通过剪拼或折叠的方法得意验证； 问题 ：你能从以上的操作过程中受到启发，相处证明“三角形内角和等于”的方法吗？ 定理：三角形的内角和是． 证明方法： 已知：． 求证：． 方法1: 证明：如图，过点作直线，使． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 同理． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． 方法2: 延长到点,作 (两直线平行,内错角相等) (两直线平行,同位角相等) (平角的定义), (等量代换), 即 方法3: 如图所示,过上任一点,作,交于,作交于. 例题 4 .图中的值为           ． 【答案】 【解析】 由图形可得出：， 解得：． 练习 5 .如图，，．则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据外角的定义： ． 故选． 6 .如图，在中，点是边上一点，点是边上一点，且，，，则的度数是（  ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ∵，， ∴， ∵， ∴． 例题 7 .如图，已知直线，，，那么的大小为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图，交于点， ∵， ∴， 而，， ∴． 故选． 练习 8 .如图，在中，，过点作，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 9 .如图，，，，则的大小是           ． 【答案】 【解析】 由得到， 在中，． 三角形的分类 （1）按角分类     锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 （2）按边分类 按边分类： 等腰三角形与等边三角形之间的关系：     等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形；等边三角形是指三条边都相等的三角形； 等边三角形是特殊的等腰三角形，也称为正三角形． 例题 10 .设表示直角三角形．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示等腰直角三角形．则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查三角形的分类，直角三角形与等腰三角形之间有公共部分是等腰直角三角形，等边三角形是等腰三角形的一个特例． 练习 11 .试通过画图来判定，下列说法正确的是（   ）． A.一个直角三角形一定不是等腰三角形 B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D.一个等边三角形一定不是钝角三角形 【答案】 D 【解析】 无解析 12 .下面四个选项中，有一个是没有按同一标准进行分类的是（   ）． A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 【答案】 D 【解析】 按角的大小分：三角形中三个角都小于是锐角三角形；三角形中有一个角等于的三角形是直角三角形；三角形中有一个角大于的三角形是钝角三角形．没有按同一标准进行分类的是等腰三角形． 故选． （3）直角三角形性质 直角三角形的两个锐角互余； 反之，有两个角互余的三角形是直角三角形． 【注意】直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成． 例题 13 .如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数等于（  ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图，根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 练习 14 .在中，，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选． 15 .已知中，，将沿向三角形内折叠，使点落在的内部，如图，则（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据题意得，， 由三角形内角和定理可得，， ∴， ∴ ． 三角形的三边关系 【探究1】 某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边．可是每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来，你说小学生为什么会这样走？ 【答案】两点之间的所有连线中，线段最短． 【探究2】 壁虎要从点出发，沿着三角形的边爬到点，有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？ 分析：线路一：            线路二： 由 “ 两点之间，线段最短 ” 可知： 同理可得： （）定理：三角形两边之和大于第三边． 上述内容可以表示为：，，． 理论依据：两点之间，线段最短． （）推论：三角形两边之差小于第三边． 理论依据：由，根据不等式的性质，得． 【重点提示】 ①三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边， 即有，，三个不等式同时成立． ②判断三条线段能否构成三角形，可看两条较短线段之和是否大于较长线段，大于可构成，否则不能构成． 例题 16 .下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（  ）． A.，， B.，， C.，， D.，，  【答案】 D 【解析】 选项、，不能组成三角形，故错误． 选项、，不能组成三角形，故错误． 选项、，不能组成三角形，故错误． 选项、，能组成三角形，故正确． 练习 17 .如图，为估计池塘岸边，的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离可能是（   ）． A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】 C 【解析】 ∵三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴只有选项符号题意． 18 .有根木条，长度分别为，，，，选其中三根组成三角形，则可选择的方法有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】 C 【解析】 选其中根组成一个三角形， 不同的选法有，，；，，；，， 选其中三根组成三角形，共种． 故选C． 三角形的重要线段 （1）三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线和对边交点所形成的线段叫做三角形的角平分线．   【易错提示】 ①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线． ②三角形的角平分线位于三角形内部． ③三条角平分线都在三角形内部且交于一点。 （2）三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三条中线都在三角形内部且交于一点，交点叫做三角形的 重心 ． 如图，是的中线，则，． 三角形的一条中线把三角形的面积平分 ． 【易错提示】 ①三角形的三条中线是三条线段． ②三角形的三条中线位于三角形内部．  （3）三角形的高 定义：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高．   【易错提示】三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线．  高的叙述方法： ①是的高；②，垂足为；③点在上，且． 不同三角形的高线：    锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高． 锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于一点； 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点； 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，三条高所在直线相交于三角形外一点．  三角形三条高交于一点，可以交在三角形内部，也可交在直角顶点处，也可交在三角形外部，这点叫垂心 例题 19 .一定在内部的线段是（  ）． A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C.任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 【答案】 A 【解析】 、锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在内部，故本选项正确； 、钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误； 、任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误； 、直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误． 故选：． 练习 20 .如图所示，在中，边上的高是           ，边上的高是           ；在中，边上的高是           ，边上的高是           ；在中，边上的高是           ，边上的高是           ． 【答案】 【解析】 根据高的基本定义可知 ；；；；；． 21 .下列说法正确的是（　　） A.三角形的角平分线、中线和高都是线段 B.直角三角形只有一条高线 C.三角形的中线可能在三角形的外部 D.三角形的高的交点在三角形内部 【答案】 A 【解析】 所有类型三角形都有三条高； 因为三角形的中线在三角形的内部，所以它们的交点也一定在三角形的内部； 锐角三角形的三条高交于三角形的内部，直角三角形的三条高交于其直角顶点，钝角三角形的三条高交在三角形的外部. 例题 22 .如图，已知是的中线，，，和的周长的差是（   ）． A. B. C. D.不能确定 【答案】 A 【解析】 ∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差是 ， ， ． 练习 23 .如图，已知的周长为，，边上中线，周长为，           ． 【答案】 【解析】 设，， ∵是边的中线， ∴． 由题意得， 解得， 所以． 24 .如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ∵是的中线， ∴， ∵， ． 又∵， ∴， ∴． 故选． 例题 25 .如图，线段是的中线，为的中点，若的面积为，则的面积为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ∵是的中线，是的中点， ∴，． ∴ ． 练习 26 .如图，点是的边上任意一点，点、分别是线段、的中点，则的面积等于的面积的（   ）． A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 【答案】 C 【解析】 ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． ∴的面积等于的面积的倍． 故选． 27 . 如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是，那么的面积为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ∵是的中线， ∴ ， 是 的中线，是 的中线， ， 的面积是 ， ． 故选． 例题 28 .有四个学生分别在下列四个三角形中，画边上高，其中画法正确的是（  ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据高线的定义可知，边上高画法正确的是． 练习 29 .如图所示，在中，于点，于点，于点，下列说法错误的是（   ）． A.是的边上的高 B.是的边上的高 C.是的边上的高 D.不是的高 【答案】 A 【解析】 、不符合高的概念，故错误； 、符合高的概念，故正确； 、符合高的概念，故正确； 、符合高的概念，故正确． 30 .如图所示，，，则以为一条高线的三角形共有（  ）． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 D 【解析】 以为高的三角形有：、、、，共个． 例题 31 .如图，在中，，，于，于，与交于，则           ． 【答案】 【解析】 由图已知，可得，， 所以， 又， 所以≌， ， 练习 32 .如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ∵，， ∴． 又∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 33 .中，、的平分线相交于点． ( 1 )若，，则           ． ( 2 )若，则           ． ( 3 )若，则           ． ( 4 )你能找出与之间的数量关系是           ． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【解析】 (1)∵、平分和， ∴， ， ∴． (2)∵， ∴， 即， ∴． (3)∵， ∴， ∴， ∴． (4)设， ， ∴， ， ， ∴, ∴． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $