专题11轴对称同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题11轴对称同步讲义 · 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能正确识别并区分二者。 · 掌握轴对称的基本性质，知道对应线段相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。 · 能根据对称轴画出简单图形的轴对称图形，会确定轴对称图形的对称轴。 · 能运用轴对称知识解决简单的折叠、最短路径、图案设计等实际问题。 · 发展空间观念和几何直观，感受对称在生活中的应用与美感。 必备知识 点梳理 1,轴对称相关概念 2.核心性质 3.轴对称与轴对称图形区别 4.常见轴对称图形及对称轴条数 5.轴对称作图 6.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.识别轴对称图形 2.识别成轴对称图形 3.画对称轴 4.求对称轴数量 5.由成轴对称图形特征判断 6.由成轴对称图形特征求解 7.画轴对称图形 8.轴对称图案设计 9.折叠问题 10.台球中的轴对称 11.光线反射与轴对称 强化巩固 解答题(5题) 【知识点01.轴对称相关概念】 1. 轴对称图形（一个图形） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。 三要素：一个图形、沿一条直线折叠、折叠后两部分完全重合。 关键：是一个图形自身的对称特性。 2. 轴对称（两个图形） 定义：把一个图形沿某条直线折叠，能与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，重合的点叫对称点。 两层含义：两个图形形状、大小完全相同；沿直线折叠后重合。 关键：是两个图形之间的位置关系。 3. 轴对称变换 由一个图形得到它关于某条直线对称的图形的过程，叫轴对称变换。 变换不改变图形的形状、大小，只改变位置。 【知识点02.核心性质】 1. 轴对称图形的性质 (1)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (2)对应线段相等、对应角相等。 · 直线 MN 垂直平分 AA1​、BB1​； · AB=A1B1​，∠A=∠A1​，∠B=∠B1​。 2. 成轴对称的两个图形的性质 (1)两个图形全等（形状、大小完全相同）。 (2)对应点的连线被对称轴垂直平分。 (3)对应线段相等、对应角相等。 已知：△ABC 与△A'B'C' 关于直线 MN 成轴对称，对应点为 A↔A'，B↔B'，C↔C'。 1.全等性质：△ABC≅△A′B′C′ 2.垂直平分性质：直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′， 即：MN⊥AA′, AO=OA′ MN⊥BB′, BO=OB′ MN⊥CC′, CO=OC′​ 3.对应元素相等：AB=A′B′, BC=B′C′, AC=A′C′∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ 【知识点03.轴对称与轴对称图形的联系与区别】 【知识点04.常见轴对称图形及对称轴条数】. 图形 对称轴 条数 线段 本身所在直线、过中点的垂线 2 角 角平分线所在直线 1 等腰三角形 底边上的高（中线、角平分线）所在直线 1 长方形 过对边中点的直线 2 正方形 过对边中点的直线、对角线所在直线 4 圆 过圆心的任意直线 无数 正 n 边形 奇数：过顶点与对边中点；偶数：过对边中点 / 相对顶点 n 【知识点05.轴对称作图(核心步骤)】 1.找点：找出原图形的关键点（顶点、端点等）。 2.作对称点：过关键点作对称轴的垂线，截取等长线段，得到对称点。 3.连线：顺次连接各对称点，得到轴对称图形。 1：找点 取点 A、B、C 为原图形的关键点。 2：作对称点 过点 A 作 AO⊥MN，垂足为 O；延长 AO 至 A′，使 OA′=AO，则点 A′ 为点 A 关于直线 MN 的对称点。 过点 B 作 BO′⊥MN，垂足为 O′；延长 BO′ 至 B′，使 O′B′=BO′，则点 B′ 为点 B 关于直线 MN 的对称点。 过点 C 作 BO′′⊥MN，垂足为 O′′；延长 CO′′ 至 C′，使 O′′C′=CO′′，则点 C′ 为点 C 关于直线 MN 的对称点。 3：连线 顺次连接 A′B′、B′C′、C′A′，则图形 A′B′C′ 为图形 ABC 关于直线 MN 的轴对称图形。 【知识点06.易错点提醒】 1.对称轴是直线，不是线段或射线。 2.轴对称图形的对称轴至少 1 条，可有多条甚至无数条。 3.区分 “轴对称图形”（一个图形）与 “成轴对称”（两个图形）。 【题型1.识别轴对称图形】 【典例】如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【跟踪专练1】下列江苏省城市足球联赛十三支参赛队中的四支参赛队队徽（字母和文字除外）中，其中一个与另外三个图案特征不同的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 _____．（填序号） 【跟踪专练3】以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【题型2.识别成轴对称图形】 【典例】窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【跟踪专练1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 【跟踪专练3】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【题型3.画对称轴】 【典例】角是轴对称图形，__是它的对称轴． 【跟踪专练1】下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【跟踪专练2】下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【跟踪专练3】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.求对称轴数量】 【典例】如图，该轴对称图形有________条对称轴． 【跟踪专练1】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【跟踪专练3】在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【题型5.由成轴对称图形特征判断】 【典例】如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则_________是_________的垂直平分线．若，则_________，_________．    【跟踪专练1】如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【跟踪专练2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【跟踪专练3】如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型6.由成轴对称图形特征求解】 【典例】如图，若与关于直线对称，则的度数为_________． 【跟踪专练1】．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【跟踪专练2.】如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 【跟踪专练3】如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【题型7.画轴对称图形】 【典例】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【跟踪专练1】.如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【跟踪专练2】如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【跟踪专练3】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（    ）个格点三角形与成轴对称图形． A．4 B．5 C．6 D．7 【题型8.轴对称图案设计】 【典例】如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示）___________．    【跟踪专练1】如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有_____种． 【跟踪专练3】将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【题型9.折叠问题】 【典例】将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是__________． 【跟踪专练1】如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 【跟踪专练3】如图，将长方形沿折叠后，与交于G点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型10.台球中的轴对称】 【典例】如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【跟踪专练2】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【跟踪专练3】如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【题型11光线反射与轴对称】 【典例】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练3】如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【解答题】 1．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 2．如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 3．如图1，有一张长方形纸片，小明将纸片沿着折叠成如图所示的图形，经测量得，请求出的度数． 4．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 5．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11轴对称同步讲义 · 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能正确识别并区分二者。 · 掌握轴对称的基本性质，知道对应线段相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。 · 能根据对称轴画出简单图形的轴对称图形，会确定轴对称图形的对称轴。 · 能运用轴对称知识解决简单的折叠、最短路径、图案设计等实际问题。 · 发展空间观念和几何直观，感受对称在生活中的应用与美感。 必备知识 点梳理 1,轴对称相关概念 2.核心性质 3.轴对称与轴对称图形区别 4.常见轴对称图形及对称轴条数 5.轴对称作图 6.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.识别轴对称图形 2.识别成轴对称图形 3.画对称轴 4.求对称轴数量 5.由成轴对称图形特征判断 6.由成轴对称图形特征求解 7.画轴对称图形 8.轴对称图案设计 9.折叠问题 10.台球中的轴对称 11.光线反射与轴对称 强化巩固 解答题(5题) 【知识点01.轴对称相关概念】 1. 轴对称图形（一个图形） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。 三要素：一个图形、沿一条直线折叠、折叠后两部分完全重合。 关键：是一个图形自身的对称特性。 2. 轴对称（两个图形） 定义：把一个图形沿某条直线折叠，能与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，重合的点叫对称点。 两层含义：两个图形形状、大小完全相同；沿直线折叠后重合。 关键：是两个图形之间的位置关系。 3. 轴对称变换 由一个图形得到它关于某条直线对称的图形的过程，叫轴对称变换。 变换不改变图形的形状、大小，只改变位置。 【知识点02.核心性质】 1. 轴对称图形的性质 (1)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (2)对应线段相等、对应角相等。 · 直线 MN 垂直平分 AA1​、BB1​； · AB=A1B1​，∠A=∠A1​，∠B=∠B1​。 2. 成轴对称的两个图形的性质 (1)两个图形全等（形状、大小完全相同）。 (2)对应点的连线被对称轴垂直平分。 (3)对应线段相等、对应角相等。 已知：△ABC 与△A'B'C' 关于直线 MN 成轴对称，对应点为 A↔A'，B↔B'，C↔C'。 1.全等性质：△ABC≅△A′B′C′ 2.垂直平分性质：直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′， 即：MN⊥AA′, AO=OA′ MN⊥BB′, BO=OB′ MN⊥CC′, CO=OC′​ 3.对应元素相等：AB=A′B′, BC=B′C′, AC=A′C′∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ 【知识点03.轴对称与轴对称图形的联系与区别】 【知识点04.常见轴对称图形及对称轴条数】. 图形 对称轴 条数 线段 本身所在直线、过中点的垂线 2 角 角平分线所在直线 1 等腰三角形 底边上的高（中线、角平分线）所在直线 1 长方形 过对边中点的直线 2 正方形 过对边中点的直线、对角线所在直线 4 圆 过圆心的任意直线 无数 正 n 边形 奇数：过顶点与对边中点；偶数：过对边中点 / 相对顶点 n 【知识点05.轴对称作图(核心步骤)】 1.找点：找出原图形的关键点（顶点、端点等）。 2.作对称点：过关键点作对称轴的垂线，截取等长线段，得到对称点。 3.连线：顺次连接各对称点，得到轴对称图形。 1：找点 取点 A、B、C 为原图形的关键点。 2：作对称点 过点 A 作 AO⊥MN，垂足为 O；延长 AO 至 A′，使 OA′=AO，则点 A′ 为点 A 关于直线 MN 的对称点。 过点 B 作 BO′⊥MN，垂足为 O′；延长 BO′ 至 B′，使 O′B′=BO′，则点 B′ 为点 B 关于直线 MN 的对称点。 过点 C 作 BO′′⊥MN，垂足为 O′′；延长 CO′′ 至 C′，使 O′′C′=CO′′，则点 C′ 为点 C 关于直线 MN 的对称点。 3：连线 顺次连接 A′B′、B′C′、C′A′，则图形 A′B′C′ 为图形 ABC 关于直线 MN 的轴对称图形。 【知识点06.易错点提醒】 1.对称轴是直线，不是线段或射线。 2.轴对称图形的对称轴至少 1 条，可有多条甚至无数条。 3.区分 “轴对称图形”（一个图形）与 “成轴对称”（两个图形）。 【题型1.识别轴对称图形】 【典例】如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 【跟踪专练1】下列江苏省城市足球联赛十三支参赛队中的四支参赛队队徽（字母和文字除外）中，其中一个与另外三个图案特征不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】由题意可知，只有选项的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折后两边能完全重合，故选项是轴对称图形，选项、、不是轴对称图形， 故选：． 【跟踪专练2】将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 _____．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 依据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换， 而②不是轴对称变换， 故答案为：②． 【跟踪专练3】以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 【题型2.识别成轴对称图形】 【典例】窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【跟踪专练1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 【答案】 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【题型3.画对称轴】 【典例】角是轴对称图形，__是它的对称轴． 【答案】角平分线所在的直线 【分析】根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”． 故答案为：角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键． 【跟踪专练1】下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴． 【详解】解：该图形的对称轴是直线c． 故选：C． 【跟踪专练2】下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 【跟踪专练3】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 【题型4.求对称轴数量】 【典例】如图，该轴对称图形有________条对称轴． 【答案】4/四 【分析】本题考查了确定轴对称图形的对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线，据此即可求解． 【详解】解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 【跟踪专练1】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握此知识点是关键．逐项分析轴对称图形的对称轴的条数，即可得出答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，共有4条对称轴； B.是轴对称图形，共有3条对称轴； C.是轴对称图形，共有4条对称轴； D.是轴对称图形，共有6条对称轴， 对称轴条数最多的是D选项的图形． 故选：D． 【跟踪专练2】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 【跟踪专练3】在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 【题型5.由成轴对称图形特征判断】 【典例】如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则_________是_________的垂直平分线．若，则_________，_________．    【答案】 直线 线段 3 90 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∵， ∴， 故答案为：直线，线段，3，90． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴垂直平等对应点连线． 【跟踪专练1】如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪专练3】如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 【题型6.由成轴对称图形特征求解】 【典例】如图，若与关于直线对称，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握轴对称图形对应边相等，对应角相等是解题的关键． 根据周对称轴图形的性质“对应角相等”即可求解． 【详解】解：与关于直线对称， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 【跟踪专练2.】如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，则：，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 【题型7.画轴对称图形】 【典例】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【答案】13 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：13． 【跟踪专练1】.如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（    ）个格点三角形与成轴对称图形． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】 如图，图中还存在6个格点三角形与成轴对称图形 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键． 【题型8.轴对称图案设计】 【典例】如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示）___________．    【答案】见解析 【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示；    【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【跟踪专练1】如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查的是利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念求解．解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有_____种． 【答案】8 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种； 故答案为：8． 【跟踪专练3】将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察所剪的小圆和扇形与两条居中折线的位置关系，再根据对称性，即可得出正确答案． 【详解】解：剪去的小圆靠近图2的折线及正方形的上边缘，根据对称性，则展开后正方形的上下边缘居中处有四个小圆；剪去的扇形靠近图1的折线及正方形的右边缘，根据对称性，故正方形的左右边缘都有缺口，观察选项，只有D符合． 【题型9.折叠问题】 【典例】将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是__________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了轴对称的性质，平角的定义，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得到，再结合，即可求得答案． 【详解】解：由图形折叠可知，， ， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 【答案】或 【分析】分点在之间和点在上方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ∴，， 当点在之间时，如图， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在上方时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【跟踪专练3】如图，将长方形沿折叠后，与交于G点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换(折叠问题)，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 根据两直线平行，内错角相等，求得，然后利用折叠的性质，得，最后利用平角求得的度数． 【详解】解：∵长方形沿折叠后，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：B． 【题型10.台球中的轴对称】 【典例】如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【跟踪专练1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 【题型11光线反射与轴对称】 【典例】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【跟踪专练3】如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 【解答题】 1．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 2．如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质可得，，然后求出的长度等于的周长，由此即可求解． 【详解】解：，分别是点关于，的对称点， ，， ． 的周长等于， ． 3．如图1，有一张长方形纸片，小明将纸片沿着折叠成如图所示的图形，经测量得，请求出的度数． 【答案】 【分析】本题可利用平行线的性质，先由 得到与 相等的内错角，再结合平角的定义求出 的度数，最后根据折叠的性质（折叠前后对应角相等），得出 是 的一半，进而计算出 的度数． 【详解】解：， ， ． 由题意可知， ． 4．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 5．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $