专题08平面内两直线的位置关系与平移同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理和分点讲解构建知识体系，将平面内两直线位置关系、三线八角、平行公理与推论、平移的定义性质及作图步骤等核心知识点系统呈现，清晰展现相交与平行的区别联系、平移性质与作图的逻辑关联。 讲义亮点在于“题型分类精讲”设计，如通过对顶角相等计算、平移性质解决小区绿化面积等实例，培养几何直观与应用意识。跟踪专练与强化巩固分层设置，基础题巩固概念，综合题提升推理能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题08平面内两直线的位置关系与平移同步讲义 ·理解平面内两条直线的两种位置关系：相交与平行，掌握平行线的概念与基本性质。 ·识对顶角、同位角、内错角、同旁内角，能准确识别并运用对顶角相等进行简单计算。 ·掌握平行公理及其推论，会用直尺和三角板画平行线。 ·理解平移的定义与基本性质，知道平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置。 ·能按要求作出简单平面图形平移后的图形，会利用平移的性质解决长度、角度、面积等计算问题。 ·体会平移在生活中的应用，感受图形变换的数学思想 必备 知识点梳理 1.平面内两条直线的位置关系. 2.三线八角 3.平行公理与推论 4.平移的定义与性质 5.平移的作图步骤 常考题型 精讲精炼 1.平面内两直线的位置关系 2.用直尺.三角板画平行线 3.平行公理的应用 4.平行公理推论的应用 5.对顶角的定义 6.对顶角相等 7.同位角.内错角.同旁内角的识别 8.生活中的平移现象 9.图形的平移 10.利用平移的性质求解 11.利用平移解决实际问题 12.平移作图 强化巩固 解答题(5题) 【知识点01.平面内两条直线的位置关系】 1. 基本位置关系 同一平面内，两条直线只有两种关系：相交、平行。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。记作：n∥m 2. 相交线相关 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线。 性质：对顶角相等。 【知识点02.三线八角】 两条直线被第三条直线所截，形成： 同位角：位置相同，同侧同方向 内错角：两线之间，截线两侧 同旁内角：两线之间，截线同侧 【知识点03.平行公理与推论】 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【知识点04.平移的定义与性质】 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 【知识点05.平移的作图步骤.】 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 以 △ABC 平移得到 △A′B′C′ 为例： 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与________； （2）若与有且只有一个公共点，则与________； （3）若与有两个公共点，则与________． 【答案】 互相平行 相交 重合 【解析】略 【跟踪专练1】下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 【答案】C 【分析】此题考查了点与直线的位置关系、角的内部与外部、两直线相交、角的表示等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 点P在直线n外，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； B. 点M在的内部，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； C. 直线m、n相交于点B，故文字语言与图形语言相符，符合题意；     D. 不可以用表示，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； 故选：C 【跟踪专练2】平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有______对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 【跟踪专练3】如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 【题型2.用直尺.三角板画平行线】 【典例】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪专练1】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【跟踪专练3】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【题型3.平行公理的应用.】 【典例】如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练1】若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（    ） A．∵，，∴ B．∵，，∴ C．∵，，∴ D．∵，，∴ 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【详解】解：A、a，c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、c，d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、b，c都和a平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、a，c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【跟踪专练3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 【题型4.平行公理推论的应用】 【典例】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是______． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了平行公理及推论，牢记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键．由“为直线外的一点，且，”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出，，三点一定在同一条直线上． 【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知） ，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【跟踪专练1】在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 【跟踪专练2】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是___________．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪专练3】下列说法中，正确的是（　　） A．过一点有无数条直线与已知直线平行 B．同位角相等 C．相等的角是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误； C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； D、根据平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理以及对顶角的定义，正确理解定理是关键． 【题型5.对顶角的定义】 【典例】已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意可得有两条直线，共有2对对顶角，而；有三条直线，共有6对对顶角，而；有四条直线，共有12对对顶角，而；……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：有两条直线，共有2对对顶角，而； 有三条直线，共有6对对顶角，而； 有四条直线，共有12对对顶角，而； ……； 当有n条直线相交于一点时，共有对对顶角； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 【跟踪专练2】已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 【题型6.对顶角相等】 【典例】如图，当剪子口时，______________ 【答案】/度 【分析】根据“对顶角相等”即可得出答案． 【详解】解：如图，与是对顶角，且， ∴． 【跟踪专练1】如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等， 先求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为______． 【答案】/128度 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算，对顶角相等．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型7.同位角.内错角.同旁内角的识别】 【典例】如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 【跟踪专练1】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一分析每个选项．本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】解：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角，∠1与∠C符合同位角的定义，故选项A正确，不符合题意． 内错角是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角，∠2与∠C不满足内错角的定义，故选项B错误，符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠B符合同旁内角的定义，故选项C正确，不符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠C符合同旁内角的定义，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有____________对，内错角有__________对，同旁内角有___________对； （2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有__________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上探究的结果，（为大于的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有___________对，内错角有___________对，同旁内角有___________对（用含的式子表示）． 【答案】 4 2 2 12 6 6 【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． 【详解】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）列表如下： 条数           角 同位角（对数） 内错角（对数） 同旁内角（对数） 2 4 2 2 3 12 6 6 4 24 12 12 ．．． ．．． ．．． ．．． n 2n(n-1) n(n-1) n(n-1) 根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n-1)对，内错角有n(n-1)对，同旁内角有n(n-1)对， 故答案为：2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 【跟踪专练3】如图，直线，被射线所截，与构成同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：直线，被射线所截，与构成同位角的是， 故选． 【点睛】本题主要考查了同位角，记住同位角、内错角、同旁内角的定义及结构是解答此题的关键，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【题型8.生活中的平移现象】 【典例】如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 【跟踪专练1】在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义是解题的关键； 根据平移的定义逐项判断即可； 【详解】解∶A．该图案可以看作是由一个基本图形沿着某个方向进行平移，重复排列而形成的．平移过程中，基本图形的形状、大小和方向都没有发生变化，只是位置发生了改变，符合平移的定义，故该选项符合题意； B．该图案明显是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，并非平移， 故该选项符合题意； C．该图案是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，不满足平移的特征，故该选项符合题意； D．该图案是基本图形围绕一个中心点进行旋转，其旋转一定角度后得到整个图案，不是平移得到的，故该选项符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 【跟踪专练3】如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可． 【详解】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形， ∴第n个图案白色六边形的个数为：， ∴第4个图案白色六边形的个数为：， 故选C． 【点睛】本题考查图形的规律类问题，通过图形找到相应的数字规律是解题的关键． 【题型9.图形的平移】 【典例】如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为___________________cm2．      【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质，的对应边是，求出的长度，，则是直角三角形，是直角，则是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵是梯形高 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示的四条线段中，可以由线段经过平移得到的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】根据平移的性质进行分析即可得到答案． 本题考查了平移的性质，解题关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：由平移的性质可知，可以由线段经过平移得到的是线段d， 故选D． 【跟踪专练2】如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点_______，平移的方向是_______，平移的距离是_______． 【答案】 射线（或）的方向 线段的长（或的长） 【分析】本题考查了平移的方向、距离、性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移的方向、距离、性质等知识点解答即可． 【详解】解：是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点， 平移的方向是射线（或）的方向，平移的距离是线段的长（或的长）， 故答案为：；射线（或）的方向；线段的长（或的长）． 【跟踪专练3】图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】C 【分析】此题考查了图形的变化，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想解决此类问题． 先找出图形的变化部分，以及变化规律，再运用找出的规律解答问题即可． 【详解】解：如图，共有8种不同的放置方法． 故选：C． 【题型10.利用平移的性质求解】 【典例】如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 【跟踪专练1】如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，其中，，，则阴影部分的面积是______________． 【答案】7 【分析】根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积，进行计算即可． 【详解】解：∵平移， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 【跟踪专练3】如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，平移的性质，设，，依题意，根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：设，，依题意， 乙的周长为：，故①正确； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴丁的周长为： 丙的周长为： ∴丙、丁的周长差为，故③正确； ②甲、乙的周长和为，不是定值，故②不正确 根据平移可知，④甲、乙、丙、丁的周长和为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 故答案为：①③④． 【题型11.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 _____平方米． 【答案】 【分析】本题考查平移的应用，解题的关键是巧妙的运用等积代换． 【详解】解：种植面积为平方米, 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 【跟踪专练2】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 【跟踪专练3】现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积； 故选B． 【题型12.平移作图】 【典例】下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意； D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，若图形A经过平移可以与图形B、C拼成一个长方形，则可能的平移方式是（　　） A．向右平移4格，再向下平移5格 B．向右平移6格，再向下平移5格 C．向右平移4格，再向下平移2格 D．向右平移6格，再向下平移2格 【答案】A 【分析】此题考查了平移的作图．根据题意即可得到平移方式． 【详解】解：图形A经过平移可以与图形B、C拼成一个长方形，需将A向右平移4格，再向下平移5格， 故选：A． 【跟踪专练2】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 【解答题】 1．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 2．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 3．如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得出，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由平移可知， ； （2）解：由平移可知，， ，， ， 平移的距离为． 4．政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 5．如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，根据点A和点B的位置可判断出平移方式，根据平移方式作图即可． 【详解】解：∵经过平移，小船上的点A移到了点B， ∴观察图形即可看出，该小船向下平移了5格，向左平移了11格． 所画图形如图所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平面内两直线的位置关系与平移同步讲义 ·理解平面内两条直线的两种位置关系：相交与平行，掌握平行线的概念与基本性质。 ·识对顶角、同位角、内错角、同旁内角，能准确识别并运用对顶角相等进行简单计算。 ·掌握平行公理及其推论，会用直尺和三角板画平行线。 ·理解平移的定义与基本性质，知道平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置。 ·能按要求作出简单平面图形平移后的图形，会利用平移的性质解决长度、角度、面积等计算问题。 ·体会平移在生活中的应用，感受图形变换的数学思想 必备 知识点梳理 1.平面内两条直线的位置关系. 2.三线八角 3.平行公理与推论 4.平移的定义与性质 5.平移的作图步骤 常考题型 精讲精炼 1.平面内两直线的位置关系 2.用直尺.三角板画平行线 3.平行公理的应用 4.平行公理推论的应用 5.对顶角的定义 6.对顶角相等 7.同位角.内错角.同旁内角的识别 8.生活中的平移现象 9.图形的平移 10.利用平移的性质求解 11.利用平移解决实际问题 12.平移作图 强化巩固 解答题(5题) 【知识点01.平面内两条直线的位置关系】 1. 基本位置关系 同一平面内，两条直线只有两种关系：相交、平行。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。记作：n∥m 2. 相交线相关 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线。 性质：对顶角相等。 【知识点02.三线八角】 两条直线被第三条直线所截，形成： 同位角：位置相同，同侧同方向 内错角：两线之间，截线两侧 同旁内角：两线之间，截线同侧 【知识点03.平行公理与推论】 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【知识点04.平移的定义与性质】 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 【知识点05.平移的作图步骤.】 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与________； （2）若与有且只有一个公共点，则与________； （3）若与有两个公共点，则与________． 【跟踪专练1】下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 【跟踪专练2】平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有______对． 【跟踪专练3】如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【题型2.用直尺.三角板画平行线】 【典例】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【跟踪专练2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【跟踪专练3】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【题型3.平行公理的应用.】 【典例】如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【跟踪专练1】若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（    ） A．∵，，∴ B．∵，，∴ C．∵，，∴ D．∵，，∴ 【跟踪专练2】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【跟踪专练3】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【题型4.平行公理推论的应用】 【典例】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是______． 【跟踪专练1】在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【跟踪专练2】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是___________．（填序号） 【跟踪专练3】下列说法中，正确的是（　　） A．过一点有无数条直线与已知直线平行 B．同位角相等 C．相等的角是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【题型5.对顶角的定义】 【典例】已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ______． 【跟踪专练1】如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【跟踪专练2】已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【跟踪专练3】光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【题型6.对顶角相等】 【典例】如图，当剪子口时，______________ 【跟踪专练1】如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为______． 【跟踪专练3】汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【题型7.同位角.内错角.同旁内角的识别】 【典例】如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【跟踪专练1】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【跟踪专练2】（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有____________对，内错角有__________对，同旁内角有___________对； （2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有__________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上探究的结果，（为大于的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有___________对，内错角有___________对，同旁内角有___________对（用含的式子表示）． 【跟踪专练3】如图，直线，被射线所截，与构成同位角的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.生活中的平移现象】 【典例】如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【跟踪专练1】在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（   ） A．   B．   C．   D．   【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【跟踪专练3】如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 【题型9.图形的平移】 【典例】如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为___________________cm2．      【跟踪专练1】如图所示的四条线段中，可以由线段经过平移得到的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【跟踪专练2】如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点_______，平移的方向是_______，平移的距离是_______． 【跟踪专练3】图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【题型10.利用平移的性质求解】 【典例】如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【跟踪专练1】如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【跟踪专练2】如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，其中，，，则阴影部分的面积是______________． 【跟踪专练3】如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型11.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 _____平方米． 【跟踪专练1】如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【跟踪专练3】现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【题型12.平移作图】 【典例】下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】如图，若图形A经过平移可以与图形B、C拼成一个长方形，则可能的平移方式是（　　） A．向右平移4格，再向下平移5格 B．向右平移6格，再向下平移5格 C．向右平移4格，再向下平移2格 D．向右平移6格，再向下平移2格 【跟踪专练2】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【跟踪专练3】如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【解答题】 1．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 2．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 3．如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 4．政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 5．如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $