2.1《一元二次方程和它的解》 同步练习 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2.1《一元二次方程和它的解》 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （   ） A．2021 B．2023 C．2027 D．2029 5．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 6．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 7．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B．-2025 C．2026 D． 8．设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 9．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程 ． 12．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ． 13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 15．已知一元二次方程，则代数式的值等于 ． 16．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是 ． 17．已知a是一元二次方程的一个根，则 ． 18．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 20．（8分）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 21．（10分）已知是方程的一个根，求的值． 22．（10分）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 23．（10分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 24．（12分）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 参考答案 一、选择题 1．B 解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程． 对选项A：当时，方程变为，是一元一次方程，且未明确，∴不是一元二次方程． 对选项B：整理方程得，满足一元二次方程的三个条件，∴是一元二次方程． 对选项C：展开右边得，移项化简得，是一元一次方程，∴不是一元二次方程． 对选项D：方程中含有，是分式方程，不是整式方程，∴不是一元二次方程． 故选B． 2．A 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 3．B 解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 4．A 解：∵m是一元二次方程的一个根 ∴ ∴ ∵ ． 故选：A． 5．D 解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 6．A 解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 7．A 解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 8．A 解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 9．A 解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 10．C 解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 二、填空题 11． 解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．11 将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 原方程移项得标准形式， 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为． 故答案为：11． 13．2 解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 14． 解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程，得，即， 解得． 故答案为：． 15．3 解：由方程 ，可知 ，将方程两边除以，得 ， 即， ∴， 故答案为：3． 16．2 解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 17．2 解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 18． 解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 三、解答题 19． （1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 20． 解：是方程的一个根， ， ， ． 21． 解： ， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式． 22． （1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 23． （1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 24． （1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 学科网（北京）股份有限公司 $