专题2.1 一元二次方程（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

专题2.1 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的定义，能判断方程类型，明确“单未知数、最高次数为2、整式方程”的核心，区分其与一元一次方程、分式方程的不同。 2.掌握一元二次方程一般形式（），能整理方程并识别各项及系数，明确的必要性。 3.了解一元二次方程的解（根）的概念，能判断给定数值是否为方程的解，为后续解法学习铺垫。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的定义及方程类型判断。 （2）一元二次方程的一般形式，以及各项、系数的识别（强调）。 2.难点 （1）辨析含字母系数的一元二次方程，牢记的限制条件。 （2）从实际问题中找准等量关系，建立一元二次方程模型。 （3）整理复杂方程为一般形式，准确处理符号与系数识别问题。 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 2.一般式 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【即学即练】 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解决此题的关键是熟记一元二次方程是含有1个未知数，未知数的最高次数是2，两边都是整式的方程；根据一元二次方程的定义一一判断即可； 【详解】解：含有2个未知数，故A错误； 最高次数是3，故B错误； 含有分式的形式，故 C错误； 满足一元二次方程的形式，故D正确； 故选：D． 2.一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式，进而解题． 【详解】解：∵ 原方程， 展开得， 移项得， 此时二次项系数为1，一次项系数为2， ∴ 一次项系数为2． 故选：B． 3．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 知识点02 一元二次方程的解 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【即学即练】 1．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 2．若a为方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义得到，则有，再整体代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型01 一元二次方程的定义 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程），判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， 对于A： 是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义， 对于B： 含有两个未知数x和y，不是一元方程， 对于C： 含有分式，不是整式方程， 对于D： 化简后为 ，是一元一次方程，最高次数为1， ∴ 只有A是一元二次方程． 故选：A． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程），对各选项进行分析判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数为， ∴、，是整式方程，只含未知数，且的最高次数为，是一元二次方程，符合题意； 、，含有两个未知数和，则不是一元二次方程，不符合题意； 、，未知数的最高次数为，则不是一元二次方程，不符合题意； 、，含有分式，不是整式方程，则不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 【变式2】下列哪个方程是关于x的一元二次方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），逐一判断每个选项是否符合． 【详解】解：选项A：∵方程中未知数最高次数为1， ∴不是一元二次方程． 选项B：∵方程含有两个未知数， ∴不是一元二次方程． 选项C：∵方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程． 选项D：∵方程不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 故选：C． 【变式3】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、缺少条件，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型02 化成一元二次方程的一般式 【典例2】将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程通过移项整理为 的标准形式是解题的关键． 将方程化为一般形式 ，其中二次项系数为，然后读取一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， ∴ 一次项系数为，常数项为． 故选：A． 【变式1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 【变式3】把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 题型03 由一元二次方程的定义求参数 【典例3】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 【变式1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：且， 故． 故答案为：1． 【变式3】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 【典例4】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式1】下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 【变式2】下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 【变式3】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 题型05 由一元二次方程的解求参数 【典例5】已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，根据方程根的定义，将代入方程得到，然后将代数式 变形为，整体代入求值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】关于x的一元二次方程有一个实数根为0，则k的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由于方程有一个实数根为0，将代入方程即可求出的值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个实数根为0， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】若是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2． A：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； B：中，为参数，若，则不是二次方程，不一定是一元二次方程； C：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义； D：中含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义； 故选：C． 2．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 3．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 【答案】D 【分析】本题考查已知方程的解求方程中参数的值，将代入方程求解m即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 将代入得 解得 故选D． 4．一元二次方程一次项系数是（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一次项系数的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程一次项系数是． 故选：A． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．4 B．10 C．12 D．22 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 利用方程根的定义，得到，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 故选B． 6．写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，设方程为，代入已知根求解的值． 【详解】解：设一元二次方程为， 将根代入方程， 得，即， 整理得， 解得 ， 故方程为． 故答案为：． 7．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是 ． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 8．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为 ． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 9．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 10．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； （3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的定义，能判断方程类型，明确“单未知数、最高次数为2、整式方程”的核心，区分其与一元一次方程、分式方程的不同。 2.掌握一元二次方程一般形式（），能整理方程并识别各项及系数，明确的必要性。 3.了解一元二次方程的解（根）的概念，能判断给定数值是否为方程的解，为后续解法学习铺垫。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的定义及方程类型判断。 （2）一元二次方程的一般形式，以及各项、系数的识别（强调）。 2.难点 （1）辨析含字母系数的一元二次方程，牢记的限制条件。 （2）从实际问题中找准等量关系，建立一元二次方程模型。 （3）整理复杂方程为一般形式，准确处理符号与系数识别问题。 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 2.一般式 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【即学即练】 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 3．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程的解 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【即学即练】 1．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 2．若a为方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 题型01 一元二次方程的定义 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列哪个方程是关于x的一元二次方程（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型02 化成一元二次方程的一般式 【典例2】将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 题型03 由一元二次方程的定义求参数 【典例3】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式3】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 【典例4】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【变式3】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 题型05 由一元二次方程的解求参数 【典例5】已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式1】关于x的一元二次方程有一个实数根为0，则k的值是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】若是方程的一个根，则 ． 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 4．一元二次方程一次项系数是（    ） A． B．5 C．4 D． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．4 B．10 C．12 D．22 6．写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是 ． 7．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是 ． 8．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为 ． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 9．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 10．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $