第07讲 一元二次方程和它的解（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第07讲 一元二次方程和它的解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程的概念 1.概念 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫作一元二次方程。 2.识别一元二次方程的方法 首先看方程两边是不是整式，如果是整式，再化简整理为等号右边是0的形式，最后观察是否具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数为2次”这两个条件。 注意： (1)必须是对方程进行整理化简后，满足未知数的最高次数是2次。 (2)概念中的“整式”、“一个未知数”、“最高次数是2次”三个要素缺一不可。 知识点2：一元二次方程的解 1.一元二次方程的解 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。 2.代入检验法 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法：只需将这个数值分别代入一元二次方程的左右两边，看方程两边的值是否相等，若相等，则是方程的解；若不相等，则不是方程的解。 知识点3：一元二次方程的一般形式 ●一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为a2+bx+c=0的形式。我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数。 注意： （1）项与项的系数是两个不同的概念，但都包含前面的符号。 （2）“a≠0”是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个必要条件，因为关于x的方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才是一元二次方程，当a=0,b≠0时，方程变为bx+c=0,是一元一次方程。任何一个一元二次方程，经过整理都可以化成一般形式。 （3）求二次项系数、一次项系数和常数项时，需先把一元二次方程化成一般形式(易错点)。 （4）把方程2x2+5x-6=0的两边同除以2,得x2+x-3=0,它也是原方程的一般形式，可见一元二次方程的一般形式不是唯一的，从而其二次项系数、一次项系数和常数项也不是唯一的，因此通常的一般形式是指最简单、最实用、最方便的一种。 【题型1 认识一元二次方程及其系数】 例1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 例2．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 例3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 变式1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 变式2.（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 变式3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 变式4.（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 【题型2 根据题意列式】 例4．根据题意列式： （1）姜师傅将10000元存入银行，已知一年期的利率为x； ①若一年到期后姜师傅一共获得本息共10150元，据此可列式 ； ②若姜师傅将一年后到期的本息存入银行再存一年，第三年获得本息共10506元，据此可列式为 。 （2）某公司售卖的学习机每月批发出1200台，每台利润200元。经市场调查发现，每降价1元，销售量将增加10台，如果该公司要实现月利润252000元，设公司降价x元，可据此列式为 。 （3）右图是长方形草坪，已知长16米，宽10米。现要在草坪内设计两条纵横交错的步道，步道宽x米，设计后草地总面积为135平方米。据此可列式为 。 【答案】（1）①10000（1+x）=10150 ②10000（1+x）²=10506 （2）（200-x）（1200+10x）=252000 （3）16×10－16x－10x+x²=135 【详解】（1）①利息=本金×利率，本息=利息+本金=本金×（1+利率），根据题意，如果一年到期，可知10000（1+x）=10150；②注意这次是一年到期后的本息重新存入银行，因此是将10000（1+x）再存一年，得到10000（1+x）×（1+x），即有：10000（1+x）²=10506。 （2）若设公司降价了x元，则可以多销售10x台。因此新的每台利润为（200－x）元，月销售共（1200+10x）台，因此有（200-x）（1200+10x）=252000。 （3）草地总面积只要将长方形草坪减去两条步道的面积即可。两条步道的面积分别为16x和10x，但是连续减掉两条步道的面积会发现他们重叠部分的面积多减了一次。因此正确的列式为：长方形面积－横步道面积－纵步道面积+步道重叠部分（边长为x的正方形）面积=草地面积。即：16×10－16x－10x+x²=135。 变式1．根据题意列式： （1）一个两位数A，个位数比十位数大3，交换个位数与十位数的位置得到新数B，已知A×B=1300，若设A的十位数字为x，据此列式。 （2）一堆篱笆材料可以围总长度为12米，如图所示，现一边靠墙（墙足够长），围成一个长方形，长方形的面积为18平方米，若已知垂直于墙的一边为x米，据此列式。 （3）甲公司4月份营业额为506万元，5月份和6月份的营业额增长率均为a%，已知甲公司二季度（4,5,6月份）的总营业额为1880万元，据此列式。 【答案】（1）[10x+(x+3)][10(x+3)+x]=1300 （2）x（12-2x）=18 （3）506+506（1+a%）+506（1+a%）²=1880 【详解】（1）A的十位数字为x，个位数字为（x+3），这个数为[10x+(x+3)]，同理可得B这个数为[10(x+3)+x]，根据题意，两数相乘可知：[10x+(x+3)][10(x+3)+x]=1300. （2）垂直于墙的边长为x米时，平行于墙的边长为（12-2x）米，因此有x（12-2x）=18. （3）4月份营业额为506万元，5月份营业额为506（1+a%）万元，6月份为506（1+a%）²元，因此有：506+506（1+a%）+506（1+a%）²=1880。 【题型3 一元二次方程解的应用】 例5．（25-26九年级上·福建厦门·月考）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴代入得， 解得 ． 故答案为： ． 例6.（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若是方程的根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 变式1．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是 ． 【答案】2 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为2， ∴把代入得， 解得， 故答案为：． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2026 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴代入得， 即， ∴， 故答案为：2026． 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程需满足：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数为， ∴、，是整式方程，只含未知数，且的最高次数为，是一元二次方程，符合题意； 、，含有两个未知数和，则不是一元二次方程，不符合题意； 、，未知数的最高次数为，则不是一元二次方程，不符合题意； 、，含有分式，不是整式方程，则不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·广东湛江·月考）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 4.（25-26九年级上·四川泸州·月考）某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率．设平均每次提价的百分率为x ，下列所列方程中正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得， 故选：． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∵当时，， ∵随的增大而增大， ∴方程的一个解在与之间，即， 故选：C． 7．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】或 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数 ． 【答案】 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 9.两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 【答案】 【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：把代入方程得： ，即， 解得． 故答案为：． 11．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 12．（23-24九年级上·四川南充·月考）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程和它的解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程的概念 1.概念 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫作一元二次方程。 2.识别一元二次方程的方法 首先看方程两边是不是整式，如果是整式，再化简整理为等号右边是0的形式，最后观察是否具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数为2次”这两个条件。 注意： (1)必须是对方程进行整理化简后，满足未知数的最高次数是2次。 (2)概念中的“整式”、“一个未知数”、“最高次数是2次”三个要素缺一不可。 知识点2：一元二次方程的解 1.一元二次方程的解 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。 2.代入检验法 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法：只需将这个数值分别代入一元二次方程的左右两边，看方程两边的值是否相等，若相等，则是方程的解；若不相等，则不是方程的解。 知识点3：一元二次方程的一般形式 ●一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为a2+bx+c=0的形式。我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数。 注意： （1）项与项的系数是两个不同的概念，但都包含前面的符号。 （2）“a≠0”是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个必要条件，因为关于x的方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才是一元二次方程，当a=0,b≠0时，方程变为bx+c=0,是一元一次方程。任何一个一元二次方程，经过整理都可以化成一般形式。 （3）求二次项系数、一次项系数和常数项时，需先把一元二次方程化成一般形式(易错点)。 （4）把方程2x2+5x-6=0的两边同除以2,得x2+x-3=0,它也是原方程的一般形式，可见一元二次方程的一般形式不是唯一的，从而其二次项系数、一次项系数和常数项也不是唯一的，因此通常的一般形式是指最简单、最实用、最方便的一种。 【题型1 认识一元二次方程及其系数】 例1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 例3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 变式1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2.（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 变式3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 变式4.（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【题型2 根据题意列式】 例4．根据题意列式： （1）姜师傅将10000元存入银行，已知一年期的利率为x； ①若一年到期后姜师傅一共获得本息共10150元，据此可列式 ； ②若姜师傅将一年后到期的本息存入银行再存一年，第三年获得本息共10506元，据此可列式为 。 （2）某公司售卖的学习机每月批发出1200台，每台利润200元。经市场调查发现，每降价1元，销售量将增加10台，如果该公司要实现月利润252000元，设公司降价x元，可据此列式为 。 （3）右图是长方形草坪，已知长16米，宽10米。现要在草坪内设计两条纵横交错的步道，步道宽x米，设计后草地总面积为135平方米。据此可列式为 。 变式1．根据题意列式： （1）一个两位数A，个位数比十位数大3，交换个位数与十位数的位置得到新数B，已知A×B=1300，若设A的十位数字为x，据此列式。 （2）一堆篱笆材料可以围总长度为12米，如图所示，现一边靠墙（墙足够长），围成一个长方形，长方形的面积为18平方米，若已知垂直于墙的一边为x米，据此列式。 （3）甲公司4月份营业额为506万元，5月份和6月份的营业额增长率均为a%，已知甲公司二季度（4,5,6月份）的总营业额为1880万元，据此列式。 【题型3 一元二次方程解的应用】 例5．（25-26九年级上·福建厦门·月考）若是方程的一个根，则的值为 ． 例6.（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若是方程的根，则 ． 变式1．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是 ． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若一元二次方程有一个根为，则 ． 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东湛江·月考）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 4.（25-26九年级上·四川泸州·月考）某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率．设平均每次提价的百分率为x ，下列所列方程中正确的是 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程化成一般形式为 ． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数 ． 9.两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 11．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 12．（23-24九年级上·四川南充·月考）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $