第六章　二元一次方程组 习题课件 2025-2026学年冀教版七年级数学下册

第六章　二元一次方程组 6.4　三元一次方程组*  　三元一次方程(组)的有关概念 1.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程,则 ( ) A.a=1,b=0　　    B.a=-1,b=0 C.a=±1,b=0　　    D.a=0,b=0     A     解析　∵(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程,∴a+1≠ 0,b+1=1,2-|a|=1,∴a≠-1,b=0,|a|=1,∴a=1.故选A. 2.下列是三元一次方程组的是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      D     解析    A.x2的次数是2,B. 不是整式,C.xyz的次数是3,故选 项A、B、C都不是三元一次方程组,D选项符合三元一次方程 组的定义,故选D.  　三元一次方程组的解法 3.解三元一次方程组 时,要使解法较为简便, 应 ( ) A.先消去x　　    B.先消去y C.先消去z　　    D.先消去常数     C     解析　根据方程①缺少未知数z,方程②③中未知数z的系数互 为相反数,故应先将②+③,消去z,再把得到的方程与①联立求 解x和y,这样解方程组比较简单.故选C. 4.(2025云南昆明期中)在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5,当x =-1时,y=0,当x=2时,y=3,则a,b,c的值分别为 ( ) A.-2,3,-5　　    B.3,-2,-5 C.-5,-2,3　　    D.-5,3,-2     B     解析　∵在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=0,当 x=2时,y=3, ∴ 解得 故选B. 5.【学科特色·教材变式P25T1】解方程组: (1)(2025上海宝山期末)  (2)(2025上海青浦期末)  (3)(2025山东泰安宁阳十二中月考)  (4)(2025山东泰安宁阳十二中月考)  解析    (1)  ①-②,得y-z=49④,④+③,得2y=62,解得y=31, 把y=31分别代入①③得 解得  ∴方程组的解为  (2) ①+②,得5x+2y=16④, ②+③,得3x+4y=18⑤,④×2-⑤,得7x=14,解得x=2,将x=2代入⑤ 得6+4y=18,解得y=3, 将x=2,y=3代入③得2+3+z=6,解得z=1, 故原方程组的解为  (3) ①+②,得6x+2y=10④, ①+③,得6x+6y=6⑤,⑤-④得4y=-4,解得y=-1, 把y=-1代入④,得6x-2=10,解得x=2, 把x=2代入②,得4-z=4,解得z=0, 故原方程组的解为  (4)设x=10k,则y=15k,z=8k, ∵x+y+z=33,∴10k+15k+8k=33,解得k=1, ∴x=10,y=15,z=8,故原方程组的解为    6.(2025河北廊坊部分学校期末,★★☆)利用两块完全相同的 长方体木块测量一张桌子的高度,首先按如图1所示的方式放 置,再交换两木块的位置,按如图2所示的方式放置,测量的数 据如图,则桌子的高度是 ( )   图1 图2     C     A.73 cm　　    B.74 cm C.75 cm　　    D.76 cm 解析　设桌子的高度为a cm,由题意得 两式相加 得2a=150,解得a=75,即桌子的高度为75 cm.故选C. 7.【新考向·数学文化】(2025福建福州期中,★★☆)北魏数学 家张丘建被称“算圣”,他所著的《张丘建算经》中记载了 各种计算,其中有一题:今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏 三值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?译:一只 公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,三只小鸡值1钱.现用100钱买100 只鸡(三种鸡都要买),请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只? 设公鸡有x只,母鸡有y只,小鸡有z只,则下列不符合题意的选项 是 ( )     D     A. 　　    B.  C. 　　    D.  解析　公鸡有x只,母鸡有y只,小鸡有z只, 由题意得  解得y=25- x,z=75+ x, ∵x,y,z均为小于100的正整数, ∴ 或 或  故选D. 8.【新考向·新定义题】(2025福建泉州期中,★★☆)用高等代 数的符号可以将方程组 的系数排成一个表 , 这种由数列排成的表叫作矩阵.矩阵 表示关于x,y,z 的三元一次方程组,若5x+2y-z为定值,则t与m的关系为______ _. -1 3t+m= 解析　由题意得  ①×3+②,得5x+2y+(3t+m)z=11, ∵5x+2y-z为定值,∴3t+m=-1.   9.【新课标·运算能力】(2025上海闵行期末)【学习材料】 在求代数式的值时,有些题目可以用整体求值的方法,化难为 易. 例如:已知 求2x+y+z的值. 解:②-①,得4x+2y+2z=6③, ③× ,得2x+y+z=3, 所以2x+y+z的值为3. 【类似迁移】 (1)已知 求3x+4y+5z的值. 【实际应用】 (2)学校运动会即将到来,七(2)班学生准备购买若干啦啦队道 具积极准备入场表演,根据商店的价格,若购买3条彩带、2个 头饰、1面小红旗需要28元;若购买7条彩带、5个头饰、3面 小红旗需要66元,七(2)班共45位同学,则购买45条彩带、45个 头饰、45面小红旗共需要多少元? 解析    (1)②+①,得6x+8y+10z=36③, ③× ,得3x+4y+5z=18,所以3x+4y+5z的值为18. (2)设买一条彩带需要x元,一个头饰需要y元,一面小红旗需要z 元,由题意可得  ②-①×2,得x+y+z=10,所以45x+45y+45z=450. 答:购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗共需要450元. $第六章　二元一次方程组 第3课时　用适当方法解二元一次方程组 6.2　二元一次方程组的解法  　选择适当方法解二元一次方程组 1.(2025山东青岛大学附中模拟)解方程组 你认为 下列四种方法中,最简便的是     ( ) A.由②得x=y+2,代入法消去x B.由①得y=7-2x,代入法消去y C.由①-②×2,加减消元法消去x D.由①+②,加减消元法消去y     D     解析　观察 的两个方程中的y的系数互为相反数, ∴解方程组的最佳方法是由①+②,加减消元法消去y.故选D. 2.解以下两个方程组① ② 较为简便的 方法是 ( ) A.①②均用代入法 B.①②均用加减法 C.①用代入法,②用加减法 D.①用加减法,②用代入法     D     解析　①方程组中两个方程含y的项互为相反数,用加减法比 较合适;②方程组中s=3t-1是用t表示s的形式,用代入法比较合 适.故选D. 3.【学科特色·教材变式P14练习】选择合适的方法解下列方 程组: (1) (2)  (3) (4)  解析    (1) 将①代入②,得7x+5(x+3)=9,解得x=- , 将x=- 代入①,得y=- +3= , ∴原方程组的解为  (2)整理方程组,得  ①×3+②×2,得17m=306,解得m=18. 将m=18代入①,得54+2n=78,解得n=12, ∴原方程组的解为  (3)整理方程组,得  ①×6-②,得4x=-4,解得x=-1, 将x=-1代入①,得-2+y=1.5,解得y=3.5, ∴原方程组的解为  (4)整理方程组,得  ①-②,得4y=-28,解得y=-7, 将y=-7代入①,得15x-8×(-7)=-34,解得x=-6, ∴原方程组的解为    4.【学科特色·多解法】(★★☆)解方程组:   解析　【解法一】消元法: 整理,得 ①×2+②,得15y=11,解得y= .将y= 代 入①,得-x+7× =4,解得x= , ∴原方程组的解为  【解法二】换元法:  ①-②,得-5b=-2,解得b= . 将b= 代入②,得3a+ =6,解得a= . ∴ 解得  设x+y=a,x-y=b,则原方程组可以化为 整理,得 5.(2025河北石家庄润德学校月考,★★☆)解方程组  时,两位同学的解法如下: 解法一:由①-②,得3x=-3. 解法二:由②得3x+(x-2y)=5③, 把①代入③得3x+2=5. (1)反思:上述两种解题过程中你发现解法_______的解题过 程有错误(填“一”或“二”).解二元一次方程组的基本思想 是_______. (2)请选择你喜欢的方法解方程组:  解析    (1)由①-②,得-3x=-3, 故解法一错误;解二元一次方程组的基本思想是把二元变为 一元,即消元,故答案为一;消元. (2)【解法一】代入消元法:  将①化为x=4+3y③,把③代入②中,得2(4+3y-2)=3(y+1),解得y= - ,把y=- 代入③中,得x=3,∴方程组的解为  【解法二】加减消元法:整理,得  ①-②得-x=-3,解得x=3, 把x=3代入①,得3-3y=4,解得y=- , ∴方程组的解为  $第六章自主检测 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题(共8小题,每题5分,共40分) 1.(2025河北廊坊期末)下列方程中,是二元一次方程的是  ( ) A.3a-b=5c　　    B.3xy+9=0 C. +4y=3　　    D.4x=  D     解析     A.3a-b=5c中含有三个未知数,不是二元一次方程,不 符合题意;B.3xy+9=0中含有未知数的项的次数不是1,不是二 元一次方程,不符合题意;C. +4y=3中含 ,不是整式方程,不 是二元一次方程,不符合题意;D.4x= 是二元一次方程,符 合题意.故选D. 2.(2025河北秦皇岛昌黎期中)将2y-3x=1变形,用含x的代数式 表示y,正确的是 ( ) A.y= 　　    B.y=  C.x= 　　    D.x=      A     解析 　由2y-3x=1,得2y=1+3x,∴y= .故选A. 3.(2025河北邯郸临漳期末)解关于x,y的二元一次方程组  将①代入②,消去y后所得到的方程是 ( ) A.3x+4x-3=8　　    B.3x+4x+3=8 C.3x+4x-6=8　　    D.3x+4x+6=8     C     解析 　将①代入②,消去y后所得到的方程是3x+2(2x-3)=8, 去括号,得3x+4x-6=8.故选C. 4.(2025河北秦皇岛期末)已知关于x,y的二元一次方程组  用加减消元法无法消元的是( ) A.①×3+②×2　　    B.①×5-② C.①×(-5)+②　　    D.①×3+②×(-2)     D     解析　选项A,①×3+②×2,得13x=32,消去y,不符合题意;选项 B,①×5-②,得13y=23,消去x,不符合题意;选项C,①×(-5)+②,得- 13y=-23,消去x,不符合题意;选项D,①×3+②×(-2),得-7x+12y= 4,x和y均未消去,符合题意.故选D. 5.(2025河北沧州期末)关于x,y的方程组 的解是  其中y的值被盖住了,不过仍能求出p,p的值是  ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.           A 解析 　将 代入x+y=3,得1+▲=3, 解得▲=2,即y=2,将 代入x+py=0,得1+2p=0,解得p=- .故 选A. 6.【跨物理·声速】(2025河北沧州南皮四中期中)声音在某介 质中传播的速度随着温度的变化而变化,若用v表示声音在该 介质中的传播速度,x表示温度,则v,x满足:v=ax+b(a,b为常数). 若x=10时,v=337,x=-10时,v=325.则a,b的值分别为     ( ) A.-0.6,331　　    B.0.6,331 C.6,33　　    D.-6,33     B     解析 　∵v,x满足:v=ax+b(a,b为常数),x=10时,v=337,x=-10时, v=325, ∴ 解得 故选B. 7.【新课标·爱国教育】(2025黑龙江齐齐哈尔中考)神舟二十 号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年 探索浩瀚宇宙的兴趣,学校组织900名师生乘车前往航空科技 馆参观,计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租),若 每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位,则租车方案有  ( ) A.3种　　    B.4种　　    C.5种　　    D.6种     B     解析　设租用45座客车x辆,60座客车y辆,由题意得45x+60y= 900,∴x= , ∵x,y均为正整数,∴当y=3时,x=16;当y=6时,x=12;当y=9时,x=8; 当y=12时,x=4.∴共4种满足条件的正整数解,对应4种租车方 案.故选B. 8.(2025河北唐山三十九中月考)如图,从左上角标注2的圆圈 开始,沿顺时针方向按an+b的规律(n表示前一个圆圈中的数 字,a,b是常数)转换后得到下一个圆圈中的数,则标注问号的 圆圈中的数应是 ( )   A.122　　    B.66　　    C.178　　    D.89     A     解析 　根据题意可得 解得 ∴沿顺时针方 向按2n+6的规律(n表示前一个圆圈中的数字)转换后得到下 一个圆圈中的数,当n=58时,2n+6=2×58+6=122,即标注问号的 圆圈中的数应是122.故选A. 二、填空题(共4小题,每题5分,共20分) 9.(2025江苏徐州中考)若二元一次方程组 的解为  则a+b的值为______. 1 解析     ①+②,得5x=5,解得x=1,将x=1代入①,得3+ y=3,解得y=0,∴该方程组的解为 ∴a=1,b=0,∴a+b=1+0= 1. 10.(2025河北石家庄润德学校月考)已知关于x,y的方程组  那么x与y的关系是________. x+y=1 解析     ②×2,得2x+6y=2k③, ①+③,得5x+5y=5,即x+y=1. 11.(2025河北张家口宣化期中)已知方程组 的解 是 则 的解是________. 解析　由题意得方程组 的解满足  解得  12.(2025湖北十堰期末)甲、乙、丙三人共解100道数学题,每 人都只会做其中的60道题,且三人合在一起,这100道都能解答 出来.将其中只有一人会做的题目叫难题,三人都会做的题叫 容易题,则难题比容易题多_______道. 20 解析　设只有1人解出的题目道数为x,有2人解出的题目道数 为y,有3人解出的题目道数为z, 那么3人共解出的题目道数为x+2y+3z=60×3①, 除掉重复的部分,3人共解出的题目道数为x+y+z=100②,②×2- ①,得x-z=20. 三、填空题(共3小题,共40分) 13.(2025河北廊坊六中月考)(10分)解方程组: (1) 　　　    (2)  解析    (1) 由②得x=y+1③, 把③代入①得2(y+1)-3y=5,解得y=-3, 把y=-3代入③,得x=-3+1=-2, ∴原方程组的解为  (2) ①+②×2,得7x=10,解得x= , 把x= 代入①,得3× -2y=8,解得y=- , ∴原方程组的解为  14.(2025广西中考)(15分)自2025年5月9日起至2025年12月31 日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通 行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到 广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下: 湖南境 内路段 广西境内 特定路段 广西境内 其他路段 周一至 周四 9.5折 周五至 周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、 广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元 和c元.求此行程的高速费实付多少元,比原价优惠了多少元. (用代数式表示) (2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55 元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程 中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费 原价分别是多少元. 解析    (1)此次行程高速费原价为(a+b+c)元, 实付0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元, 优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元. (2)设此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的 单程高速费原价分别为x元和y元, 由题意得 解得  答:此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单 程高速费原价分别是45.9元和55.1元. 15.【新考向·新定义题】(2025河北邯郸期末)(15分)定义:对 于关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c),将x的系数a 与常数c互换.得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的 “对称方程”.例如方程3x+2y=7的“对称方程”为7x+2y=3. (1)方程2x-3y=-1的“对称方程”为_______,它们组成的方程 组的解为_______. (2)若关于x,y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组 成的方程组的解为 求m,n的值. 解析    (1)由题意可知方程2x-3y=-1的“对称方程”为-x-3y= 2,  解得  故答案为-x-3y=2;  (2)由题意可得方程组  ①-②,得-5x=5,解得x=-1, ∵方程组的解为 ∴m=-1, 把x=-1,m=-1,代入①,得3×(-1)-y=8,解得y=-11,∴n=-11. $第六章　二元一次方程组 第2课时　二元一次方程组的应用(二) 6.3　二元一次方程组的应用  　列二元一次方程组解决增长(降低)率及销售问题 1.(2025甘肃陇南期末)为响应低碳排放的号召,甲、乙两厂对 设备进行升级.升级前两厂年碳排放的总量为200吨,升级后甲 厂的碳排放量减少20%,乙厂的碳排放量减少30%,两厂年碳 排放的总量减少24%,求升级前甲、乙两厂的碳排放量各是 多少吨. 解析　设升级前甲厂的碳排放量为x吨,乙厂的碳排放量为y 吨,由题意得   解得  答:升级前甲厂的碳排放量为120吨,乙厂的碳排放量为80吨. 2.(2025河北邯郸期末)“预防为主,生命至上”.商场计划购进 一批消防器材进行销售,已知购进15个干粉灭火器和20个消 防自救呼吸器共需1 500元,购进20个干粉灭火器和25个消防 自救呼吸器共需1 950元. (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是 多少元. (2)该商场计划用4 800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器 共100个,销售时,干粉灭火器在进价的基础上加价30%进行销 售,消防自救呼吸器每件加价10元进行销售,求全部售出后共 可获利多少元. 解析    (1)设一个干粉灭火器的进价为x元,一个消防自救呼吸 器的进价为y元, 由题意得 解得  答:一个干粉灭火器的进价为60元,一个消防自救呼吸器的进 价为30元. (2)设购进干粉灭火器m个,购进消防自救呼吸器n个,由题意得  解得  ∴购进干粉灭火器60个,购进消防自救呼吸器40个, ∴全部售出后共可获利60×30%×60+10×40=1 480(元). 答:全部售出后共可获利1 480元.  　列二元一次方程组解决行程问题 3.【学科特色·教材变式P20T2】(2025河北唐山期中)请欣赏 我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗: 悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟,归时四分行六百,风速多少 才称雄?解释:孙悟空顺风去查妖精的行踪,4分钟就飞行1 000 里,逆风返回时4分钟飞行600里.若设孙悟空的速度为x里/分 钟,风速为y里/分钟,则可列方程组为 ( )     D     A. 　　    B.  C. 　　    D.  解析　孙悟空的速度为x里/分钟,风速为y里/分钟,则可列方程 组为 故选D. 4.【学科特色·教材变式P21T2】(2025河北承德期末)甲、乙 两车分别从相距210千米的A,B两地相向而行. (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍,若甲 车比乙车提前2小时出发,则甲车出发后3小时两车相遇.求 甲、乙两车的速度分别是多少(单位:千米/小时). (2)如果甲、乙两车保持(1)中的速度,两车同时出发相向而行, 求经过多少小时两车相距30千米. 解析    (1)设甲车的速度是x千米/小时,乙车的速度是y千米/小时, 根据题意得 解得  答:甲车的速度是60千米/小时,乙车的速度是30千米/小时. (2)设经过t小时两车相距30千米,根据题意得, 若两车相遇前,则60t+30t=210-30,解得t=2, 若两车相遇后,则60t+30t=210+30,解得t= . 答:经过2小时或 小时两车相距30千米.   5.(2025河北石家庄四十八中月考,★★☆)爸爸骑摩托车带着 小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上 的数如下: 时刻 9:00 10:00 11:30 里程 碑上 的数 是一个两位 数,它数位上 的两个数字 之和是6 是一个两位 数,它的十位 与个位数字 与9:00所看到 的正好互换 了 是一个三位 数,它比9:00 时看到的两 位数中间多 了个0 则10:00时看到里程碑上的数是 ( ) A.15　　    B.24　　    C.42　　    D.51     D     解析　设小明9:00时看到的两位数十位数字为x,个位数字 为y,即两位数为10x+y, 则10:00时看到的两位数为x+10y,9:00~10:00行驶的里程数为 (10y+x)-(10x+y), 11:30时看到的数为100x+y,11:30~10:00行驶的里程数为(100x +y)-(10y+x), 依题意得  解得 ∴10:00时小明看到的两位数是10y+x=51. 6.(2025河北石家庄润德学校月考,★★☆)甲、乙两家电器商 场出售同样的空气净化器和过滤网,空气净化器和过滤网在 两家商场的售价一样.已知购买1个空气净化器和2个过滤网 要花费2 440元,购买2个空气净化器和3个过滤网要花费4 760 元. (1)求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元. (2)为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定:这两 种商品都打九五折;乙商场规定:买1个空气净化器赠送2个过 滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网,如果只 能在一家商场购买,请问选择哪家商场购买更合算?请说明理 由. 解析    (1)设1个空气净化器的销售价格为x元,1个过滤网的销 售价格为y元, 由题意得 解得  答:1个空气净化器的销售价格为2 200元,1个过滤网的销售价 格为120元. (2)选择乙商场购买更合算,理由如下: 在乙商场购买所需费用为2 200×10+(30-10×2)×120=23 200 (元), 在甲商场购买所需费用为0.95×(2 200×10+120×30)=24 320 (元), ∵24 320>23 200,∴选择乙商场购买更合算.   7.【新课标·模型观念】(2025河北邯郸期中节选)随着AI技术 的发展,越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工 作,装卸机器人是物流自动化的重要设备,广泛应用于港口和 仓库,市面上原有l1、l2两种型号机器人,后来又新推出升级版S 型机器人. 素材1:一台l1型机器人工作2小时,一台l2型机器人工作4小时 一共可卸3 200件货物;一台l1型机器人工作3小时,一台l2型机 器人工作2小时一共可卸2 800件货物. 素材2:某大型仓库需要一小时内完成6 000件货物的卸货工 作. 素材3:三种机器人每台卸货的工作效率和耗电量如表所示: 型号 工作效率/(件/小时) 耗电量/(度/小时) l1 x 3 l2 y 2.5 S 800 3 根据上面的材料,回答下列问题. (1)求x和y的值. (2)仓库使用若干台l1、l2两种型号机器人恰好一小时完成本 次卸货任务,总共要耗电_______度. 解析    (1)一台l1型机器人的工作效率是x件/小时,一台l2型机 器人的工作效率是y件/小时, ∴ 解得  ∴一台l1型机器人的工作效率是600件/小时,一台l2型机器人 的工作效率是500 件/小时. (2)设仓库使用l1型机器人a台,l2型机器人b台,∴600a+500b=6 000,整理得a=10- b, ∵a,b是正整数,∴a=5,b=6, ∴仓库使用l1型机器人5台,l2型机器人6台, ∴总共耗电3×5+2.5×6=30(度). $第六章　二元一次方程组 第1课时　代入消元法 6.2　二元一次方程组的解法  　用代入消元法解二元一次方程组 1.(2025河北邯郸武安期末)用代入法解方程组  时,将①变形为用x表示y的形式,再代入到②中,所得到的一元 一次方程是 ( )     A     A.5x+2(x+3)=6 B.5x+2(-x+3)=6 C.5x+2(x-3)=6 D.5x+2(-x-3)=6 解析　由①可得y=x+3③,把③代入②,得5x+2(x+3)=6.故选A. 2.【学科特色·教材变式P8T1】(2025河北衡水阜城期末)用代 入法解方程组 的过程中,使得代入后化简比较容 易的变形是 ( ) A.由①,得x= - y　　    B.由①,得y= - x C.由②,得x= + 　　    D.由②,得y=2x-5     D     解析　观察方程组可知,用代入消元法求解时,由②,得y=2x-5, 再代入①中最简单.故选D. 3.(2025河北张家口万全期末)对于二元一次方程组  将①式代入②式,消去y可以得x-3x+6=7,则方程 ①是 ( ) A.y=x-2　　    B.y=x+2 C.x=2y-1　　    D.x=2y+1     A     解析　∵x-3x+6=7,∴x-3(x-2)=7, 又∵x-3y=7,∴y=x-2.故选A. 4.(2025河北石家庄十七中月考)用代入消元法解下列方程组: (1)     (2)  解析    (1) 由①得x=1-y③, 把③代入②,得1-y-2y=4,解得y=-1, 把y=-1代入①,得x-1=1,解得x=2, ∴原方程组的解为  (2)整理,得  把①代入②,得5y+4y=36,解得y=4, 把y=4代入①,得3x=5×4,解得x= , ∴原方程组的解为    5.(★★☆)芳芳求得方程组 的解为 由于不小 心两滴墨水遮住了两个数⊗和☉,则⊗与☉表示的数分别是  ( ) A.6,1　　    B.-6,-1 C.-6,1　　    D.6,-1     A     解析　把 代入方程组 中,得 解得  故选A. 6.(2025河北石家庄藁城期末,★★☆)如图,在数轴上标出若干 个点,每相邻两点相距一个单位长度,点A,B,C,D表示的数分别 是a,b,c,d,且2a-3b=-2,那么数轴的原点是点___.   D 解析　由题意得方程组 解得 即点B所表示 的数是-4,又∵d-b=4,∴d=0,∴原点是点D. 7.【学科特色·整体思想】(★★★)阅读下列解题方法: 解方程组 时,可由①得x-y=1③, 然后将③代入②,得4×1-y=5,解得y=-1, 从而进一步求得原方程组的解为 这种方法被称为 “整体代入法”. 请用同样的方法回答下列问题: (1)直接写出方程组 的解:_______. (2)解方程组:  解析    (1) ①变形得x+y=7③, 把③代入②,得4×7-y=25,解得y=3, 把y=3代入③,得x=4,∴方程组的解为  故答案为  (2)  由②得y-2x=3,即2y-4x=6③, 把③代入①,得2+2x=4,解得x=1, 把x=1代入②,得y-2×1+3=6,解得y=5. ∴原方程组的解是  $第六章　二元一次方程组 6.1　二元一次方程组  　二元一次方程的有关概念 1.(2025河北石家庄长安期末)已知☆+2y=1是一个二元一次方 程,则☆可能是 ( ) A.x　　    B.x2 C.y　　    D.      A     解析    A.当☆是x时,x+2y=1是二元一次方程;B.当☆是x2时,x2 +2y=1中,x的次数是2,故x2+2y=1不是二元一次方程;C.当☆是y 时,y+2y=1中,只含有一个未知数,不是二元一次方程;D.当☆是  时, +2y=1中, 不是整式,故 +2y=1不是二元一次方程.故 选A. 2.(2025河北石家庄藁城期末)下列4组数值中,不是二元一次 方程3x-y=6的解的是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      A     解析　将 代入方程得3x-y=-6≠6,符合题意,故选A. 3.【学科特色·易错题】(2025河北邯郸期末)如果(R-2)x|R|-1-3y= 2是关于x,y的二元一次方程,那么3R-2的值为     ( ) A.4　　    B.-8 C.8　　    D.4或-8     B     解析　根据题意得 解得R=-2,∴3R-2=-6-2=-8,故 选B. 易错警示　容易忽略未知数的系数不能为0的情况. 4.已知2x-3y+6=0,用x表示y:_____________;用y表示x:_______ x= 　    y= 　     解析    2x-3y+6=0,移项,得-3y=-2x-6,两边同时除以-3,得y=  ,2x-3y+6=0,移项,得2x=3y-6,两边同时除以2,得x= . 5.(2025河北廊坊期末)已知 是二元一次方程3x+2y=12的 一组解,则a的值为____. 3 解析　把 代入二元一次方程3x+2y=12,得3×2+2a=12,解 得a=3.  　二元一次方程组的有关概念 6.【学科特色·教材变式P4T2】(2025河北邯郸期中改编)下列 方程组    中,不属于二元 一次方程组的有 ( ) A.0个　　    B.1个 C.2个　　    D.3个     D     解析     中, +y=7不是整式方程,故不是二元一次 方程组; 满足二元一次方程组的定义,是二元一次方 程组; 中,xy=4的含未知数的项的次数是2,故不是二 元一次方程组; 中含有三个未知数,故不是二元一次 方程组.故选D. 7.(2025山东临沂期末)若关于x,y的二元一次方程ax+by=p,mx+ ny=q的部分解分别如表1、表2所示: 表1: 　表2:  则关于x,y的方程组 的解为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　由题表数据可得两个方程的公共解是  则方程组 的解为 故选A. 8.若关于x,y的二元一次方程组 的解为 则 “□”可以表示为 ( ) A.x　　    B.x2-3y C.y-x　　    D.x-y     C     解析    A.∵x=1≠2,∴“□”不可以表示为x; B.x2-3y=2不是二元一次方程; C.当 时,y-x=3-1=2,则“□”可以表示为y-x; D.当 时,x-y=1-3=-2≠2,则“□”不可以表示为x-y. 故选C.  　根据实际问题列二元一次方程(组) 9.【新考向·数学文化】(2025山东临沂中考)明代数学家吴敬 的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意: 有3个头,6只手的哪吒若干,有1个头,8只手的夜叉若干,两方交 战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有x 个,夜叉有y个,则根据条件所列方程组为( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      D     解析　根据题意可得等量关系:哪吒头的数量+夜叉头的数量 =36,哪吒手的数量+夜叉手的数量=108,∵哪吒有x个,夜叉有y 个,∴可列方程组为 故选D. 10.【学科特色·教材变式P5T5】(2025山东泰安新泰一模)一 个两位数,十位数字比个位数字的2倍大1.若这个两位数减去3 6恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数,设十位 数字是x,个位数字是y,则可列方程组为____________ ________________________.   解析　∵十位数字比个位数字的2倍大1, ∴x-2y=1. ∵这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所 得的两位数,∴10x+y-36=10y+x. ∴可列出方程组为    11.(2025浙江杭州期中,★★☆)现有A,B,C,D四张卡片,每张卡 片上分别写有一个二元一次方程.若取两张卡片,联立后得到 的二元一次方程组的解为 则所取的两张卡片是( ) A x-y=9　　　　    B 2x-3y=-9 C x-y=1　　　　    D 3x-2y=-5          C A.A和B　　    B.B和C C.C和D　　    D.A和D 解析　卡片A,当 时,方程左边=-7-(-8)=1,方程右边=9, ∵1≠9,∴方程左边≠方程右边,卡片A不符合题意;卡片B,当  时,方程左边=2×(-7)-3×(-8)=10,方程右边=-9,∵10≠-9, ∴方程左边≠方程右边,卡片B不符合题意;卡片C,当  时,方程左边=-7-(-8)=1,方程右边=1,∵1=1,∴方程左边=方程 右边,卡片C符合题意;卡片D,当 时,方程左边=3×(-7)-2 ×(-8)=-5,方程右边=-5, ∵-5=-5,∴方程左边=方程右边,卡片D符合题意.∴所取的两 张卡片是C和D.故选C. 12.(2025山东济宁任城期中,★★☆)为弘扬和传承长征精神, 某学校老师准备带该校八年级学生乘车到某红色教育基地学 习,若学校租用45座客车若干辆,则15人没有座位;若租用同样 数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.设租用 45座客车x辆,师生共y人,则可列方程组为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      B     解析　由“若学校租用45座客车若干辆,则15人没有座位” 可得方程45x+15=y;由“若租用同样数量的60座客车,则多出 一辆车,且其余客车恰好坐满”可得方程60(x-1)=y,所以可列 方程组为 故选B. 13.(2025河北唐山迁安期中,★★★)某社区活动中心计划出 资500元全部用于购进跳棋、象棋、围棋,其进货情况如表,如 果每一种棋类都要购买,购买方案有 ( )     B     种类 单价/元 套数 跳棋 16 5 象棋 40 x 围棋 60 y A.2种　　    B.3种　　    C.4种　　    D.5种 解析　根据题意得16×5+40x+60y=500,∴y=7- x, 又∵x,y均为正整数,∴ 或 或 ∴购买方案有3 种,故选B. 14.(2025河南许昌期末,★★☆)已知关于x,y的二元一次方程 组 小颖在解这个方程组时误将a前面的“-”抄成 了“+”,解得 求5a-3b的值. 解析　把 代入 得  ∴  ∴5a-3b=5.   15.【新课标·抽象能力】(2025江苏南通海安期中)关于x,y的 二元一次方程均可以变形为ax+by=c的形式(其中a,b,c均为常 数且a≠0,b≠0),规定:(a,b,c)为方程ax+by=c的“关联系数”. (1)二元一次方程 + =1的“关联系数”为_______ _____. (2)已知关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(1,2,-1),若  为该方程的一组解,且m,n均为正整数,求m,n的值. 　     解析    (1)将方程左右两边同时乘20,并整理得12x+10y=23, ∴二元一次方程的“关联系数”为(12,10,23). (2)∵关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(1,2,-1),∴该 二元一次方程为x+2y=-1, ∵ 为该方程的一组解, ∴m-15+2(m+n)=-1,∴3m+2n=14,∴n=7- m, ∵m,n都为正整数, ∴ 或  $第六章　二元一次方程组 第1课时　二元一次方程组的应用(一) 6.3　二元一次方程组的应用  　列二元一次方程组解决和差倍分问题 1.(2025河北沧州孟村期末)在社会实践中,某班组织学生去植 树,如图所示的是红红和亮亮的对话.设植树的男生有x人,女 生有y人,则可列方程组为( )     D     A. 　　    B.  C. 　　    D.  2.【新考向·数学文化】(2025青海中考)我国明代数学著作 《算法统宗》中有这样一个问题:“隔墙听得客分银,不知人 数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.试问各位善算者, 多少人分多少银?”译文:“隔着墙壁听见客人在分银两,不知 道有多少人,多少银两.若每人分7两,则还多4两,若每人分9两, 则还差8两.请问有多少客人?共分多少银两?”设客人为x人, 银两为y两.根据题意可列方程组为 ( ) A. 　 B. 　　 C. 　   D.     D     解析　根据“若每人分7两,则还多4两”,可得y=7x+4,根据 “若每人分9两,则还差8两”,可得y=9x-8,故可列方程组为   3.(2025河北石家庄四十中期中)学校计划采购一批白色和黄 色乒乓球,若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒,共需34元; 若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒,共需36元.通过设适 当的未知量可列出方程组为 若用①-②可得x-y =-2,下列关于“x-y=-2”的意义解释正确的是 ( ) A.每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元 B.白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒 C.每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元     C     D.白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒 解析　由题意可知每盒白色乒乓球x元,每盒黄色乒乓球y元, ∴“x-y=-2”说明每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元. 4.【学科特色·多解法】在如图所示的长方形中放置了8个大 小和形状完全相同的小长方形(空白部分),根据图中提供的数 据,可知每个小长方形的面积为_____.   22 解析　【解法一】设小长方形的宽为x,长为y, 根据题意得 解得  故每个小长方形的面积为11×2=22. 【解法二】设小长方形的宽为x,则小长方形的长为17-3x, ∴3x+9=2x+17-3x,解得x=2,则17-3x=11. 故每个小长方形的面积为11×2=22.  　列二元一次方程组解决配套问题 5.【学科特色·教材变式P17例1】(2025河北石家庄藁城期末) 在某款游戏的周边制作中,某工厂安排工人制作手办和徽章. 已知一共有60名工人参与制作,每人每天能制作手办5个或者 徽章8个,且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖,设安排x 名工人制作手办,y名工人制作徽章,能恰好全部配成套装,下 面所列方程组正确的是 ( ) A. 　 B. 　 C. 　 D.      C     解析　根据“一共有60名工人参与制作”可得x+y=60,根据 “每人每天能制作手办5个或者徽章8个,且每1个手办要搭配 3个徽章进行套装售卖”可得3×5x=8y,故可列方程组为   6.(2025山西太原期末)某文具店用3 800元购进一批钢笔式毛 笔和匹配的墨囊,已知一支钢笔式毛笔的进价为30元,一支墨 囊的进价为2元,为吸引顾客,文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨 囊搭配成套装进行销售,所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配 套,则该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的墨囊的数量分别为_ ______支,_______支. 400 100 解析　设购进钢笔式毛笔x支,匹配的墨囊y支. 根据题意得 解得    7.【新考向·数学文化】(2025河北石家庄正定三模,★★☆) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“方程术” 记载:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得 甲太半而亦钱五十,问甲、乙持钱各几何?其大意:甲、乙两人 各有若干钱,如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有50钱;如 果乙得到甲所有钱的三分之二,那么乙也共有50钱.问甲、乙 两人各有多少钱?下列说法错误的是 ( )     C     B.甲有 钱,乙有25钱 C.设甲有x钱,则乙有 钱 D.设甲有x钱,乙有y钱,可得方程组  A.设乙有x钱,可得方程  +x=50 解析　设乙有x钱,可得甲有 钱,根据题意得   +x=50,故A正确,不符合题意; 解方程  +x=50,得x=25,∴50- x= ,即甲有 钱,乙 有25钱,故B正确,不符合题意;设甲有x钱,则乙有 钱, 故C错误,符合题意;设甲有x钱,乙有y钱,根据题意可得,甲的钱 +乙的钱的一半=50钱,乙的钱+甲的钱的 =50钱,据此可列方 程组为 故D正确,不符合题意.故选C. 8.【新课标·中华优秀传统文化】(★★☆)在我国传统文化中, “喜寿”“米寿”“白寿”分别是77岁、88岁、99岁的雅 称.小花在她的年龄是她妈妈年龄的 时,曾为奶奶贺喜寿,她 在年龄为妈妈年龄的 时,又为奶奶贺米寿,则小花在___岁时, 将为奶奶贺白寿. 33 解析　设小花为奶奶贺喜寿时年龄为x岁,此时妈妈的年龄为 y岁,奶奶的年龄为77岁, 根据题意得 解得  ∴当奶奶99岁时,小花的年龄为11+11+11=33(岁), ∴小花在33岁时,将为奶奶贺白寿. 9.(2025福建泉州期中,★★☆)某车间有49名工人,每人每天能 生产螺栓12个或螺母18个,且一个螺栓配两个螺母,为使每天 生产的螺栓与螺母刚好配套,则该车间应分配多少名工人生 产螺栓,多少名工人生产螺母? 解析　设应分配x名工人生产螺栓,y名工人生产螺母, 根据题意,得 解得  故应分配21名工人生产螺栓,28名工人生产螺母.   10.【新课标·模型观念】(2025河北承德期末节选)【项目主 题】绿色校园,资源再生. 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召,开展 “废品重生计划”实践活动,号召学生将可回收物分类收集, 兑换学习用品和环保工具,培养节约习惯.某班45人全部参与, 活动持续三周. 【活动步骤】 第一步:每周收集易拉罐和旧报纸; 第二步:每周五根据兑换规则将回收物兑换为笔记本或大环 保袋; 第三步:生活委员记录每周收集和兑换数据. 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 80 旧报纸/张 120 总数 200 188 兑换规则: 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本; 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【统计数据】 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换 笔记本,则可兑换多少本? (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换 笔记本(易拉罐和报纸总数可整除且无剩余),共兑换了41本. 求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量. 解析    (1) + =46(本). 答:该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔 记本,可兑换46本. (2)设第二周收集的易拉罐有x个,旧报纸有y张, 由题意得 解得  答:第二周收集的易拉罐有120个,旧报纸有68张. $第六章　二元一次方程组 第2课时　加减消元法 6.2　二元一次方程组的解法  　用加减消元法解二元一次方程组 1.(2025河北联邦外国语学校月考)若方程组 可直 接用加减消元法消去y,则a,b的关系为 ( ) A.互为相反数　　    B.互为倒数 C.绝对值相等　　    D.相等     C     解析　若方程组 可直接用加减消元法消去y,则a,b 相等或互为相反数,即绝对值相等,故选C. 2.(2025河北唐山迁安期中)用加减消元法解方程组  时,如果想消掉x,操作正确的是 ( ) A.②×3-①　　    B.②×3+① C.①×2-②　　    D.①×2+②     A     解析　②×3-①,得7y=35.故选A. 3.(2025河北廊坊霸州期中)小丽在用“加减消元法”解二元 一次方程组 时,利用①×a+②×b消去x,则a,b的值 可能分别是( ) A.2,5　　    B.3,2 C.-3,2　　    D.2,-5     D     解析　小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组  时,利用①×2+②×(-5)消去x,得10x-4y-10x-15y=8- 45,即-19y=-37,则a,b的值可能分别是2,-5,故选D. 4.(2025河北石家庄十六中月考)用加减法解方程组  下列解法正确的是 ( ) A.①×2+②×3消去y B.①×3-②×2消去y C.①×3+②×2消去x D.①×2+②×3消去x     A     解析　要消去y,可以将①×2+②×3,要消去x,可以将①×3-②× 2.故选A. 5.【学科特色·多解法】若5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,则n-m=  ( ) A.1　　    B.-1　　    C.2　　    D.3     A     解析　【解法一】∵5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项, ∴ ②-①,得n-m=1.故选A. 【解法二】∵5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项, ∴ ①×3-②×2,得5m=3,解得m= , 把m= 代入①,得 ×3+2n=5,解得n= , ∴n-m= - =1.故选A. 6.(2025河北邯郸武安期末)若x,y满足方程组 则x+y = ___. 7 解析     ①-②,得x+y=7. 7.用加减消元法解方程组: (1)(2025河北廊坊期末)  (2)(2025河北秦皇岛抚宁期末)  解析    (1) ②×3,得6x+3y=39③, ①+③,得10x=50,解得x=5, 把x=5代入②,得10+y=13,解得y=3, ∴原方程组的解为  (2) ①+②,得5x=15,解得x=3, 把x=3代入①,得3×3+ =0,解得y=-18, ∴原方程组的解为  8.【学科特色·教材变式P12T3】已知 和 是方程 ax+by=3的两组解. (1)求a,b的值. (2)在二元一次方程ax+by=3中,求当x=0时y的值以及y=0时x的 值. 解析    (1)由题意,得 解得  (2)由(1)可知二元一次方程为2x-3y=3. 当x=0时,-3y=3,解得y=-1; 当y=0时,2x=3,解得x= .   9.(2025河北邯郸期中改编,★★★)已知关于x,y的方程组  给出下列结论:①当a=3时,该方程组的解是  ②无论a取何值,x,y的值都不可能互为相反数;③当a=- 3时,方程组的解也是方程2x+y=15+a的解.其中正确的个数为  ( ) A.0　　    B.1　　    C.2　　    D.3     B     解析　①当a=3时,方程组化为 把  代入方程组得 方程组中的两个方程 都成立,故方程组的解是 故①正确.②若x,y的值互为相 反数,则x+y=0,故y=-x. ①+②得2x+2y=6-6a,即 x+y=3-3a,∴3-3a=0,解得a=1,故当a=1时,x,y的值互为相反数, 故②错误.③当a=-3时,方程组化为 解得 把  代入方程2x+y=15+a得12+6=15+a,解得a=3,矛盾,故③ 错误. 综上所述,正确的个数为1.故选B. 10.(2025江苏淮安期末,★★☆)已知关于x,y的方程组  若x-y=2k-1,则k的值为_____________. 5 解析     ①+②,得x-y=9, ∵x-y=2k-1,∴2k-1=9,解得k=5. 11.(2025河北沧州期末,★★☆)嘉淇准备完成题目:解二元一 次方程组 发现系数“”印刷不清楚. (1)他把“”猜成5,请你解二元一次方程组  (2)妈妈说:“你猜错了,我看到在该题的标准答案中x与y互为 相反数.”请你通过计算说明原题中“”是几. 解析    (1)  ①+②×2,得11x=14,解得x= , 将x= 代入②,得5× +y=4,解得y=- , ∴原方程组的解为  (2)设印刷不清的数字为a,由题意,得x=-y, 将x=-y代入x-2y=6,得y=-2,所以x=2. 将 代入ax+y=4,得a=3,即原题中“􀱇”是3. 12.【新考向·新定义题】(2025河北石家庄八十九中月考,★ ★★)现定义某种运算“★”,对给定的两个有理数a,b有a★b =2a-b. (1)求(-2)★(-4)的值. (2)若 ★2=4,求x的值. (3)若x★3y=-4,2x★y=2,则x★y=_____________. 解析    (1)根据题意,得(-2)★(-4)=2×(-2)-(-4)=0. (2)设 =m,则m★2=4,根据题意得2m-2=4,解得m=3,则  =3,即 =3或-3,解得x=-5或7. (3)若x★3y=-4,2x★y=2, 则2x-3y=-4,4x-y=2. 联立得方程组 解得  ∴x★y=1★2=2×1-2=0.   13.【新课标·运算能力】(2025吉林长春期末)小明同学在解 方程组 时发现:如果用常规的代入消元法、加 减消元法来解,计算量大,且易出现运算错误,若采用下面的解 法则比较简单: ①+②,得11x+11y=11,即x+y=1. ②-①,得x-y=9, 最后重新组成方程组 进而求得方程组的解.这种解 二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称 解法. (1)方程组 的解为________. (2)利用轮换对称解法解方程组  解析    (1)根据题意得  ③+④,得2x=10,解得x=5, 将x=5代入③,得y=-4, ∴方程组 的解为  故答案为  (2)  ①+②,得4 049x+4 049y=8 098, 即x+y=2③,②-①,得x-y=4④, ③+④,得2x=6,解得x=3, 把x=3代入③,得y=-1,∴原方程组的解为  $