专题1.3 直角三角形 同步讲义（题型导航+知识梳理+巩固测试）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题1.3 直角三角形 同步讲义题型导航 (新教材北师大版) 知识梳理 【知识点一、直角三角形定义】 1.定义：有一个内角等于 90°的三角形叫做直角三角形。 如上图，RT△ABC中,∠B=90°，AB、BC为直角边，AC是斜边 【知识点二直角三角形的性质】 1. 直角三角形的两锐角互余； 几何语言：∠A+∠C=90° 2. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 几何语言：AB2+BC2=AC2      3. 在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半； 几何语言：在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC=AC 4.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：在Rt△ABC中，点D为AC中点，则BD=AC。 【知识点三、直角三角形判定】 1.定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形； 2.两个锐角互余：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a， b， c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形； 4.直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 【知识点四、常见题型应用】 1.求边长：直接用勾股定理或特殊角比例； 2.证明线段倍半关系：用 “斜边中线 = 斜边一半” 或 “30° 对边 = 斜边一半”； 3.折叠、翻折问题：折叠后出现直角，用勾股定理列方程； 4.坐标系求距离：构造直角三角形，用勾股算长度。 【知识点五、互逆命题和互逆定理】 1. 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。 提示：命题有真有假，定理都是正确的，即都是真命题。 3. 互逆命题与互逆定理的关系 每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理。 【知识点六：直角三角形全等的判定（直角边、斜边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．如下图： 【注意】用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”． 2.HL 的使用条件（必须同时满足） 两个三角形都是直角三角形（有一个角 = 90°） (1)斜边对应相等, (2)一组直角边对应相等 【注意】HL只能用于直角三角形,普通三角形不能用 【知识点七、全等三角形的性质】 对应边相等； 对应角相等； 对应线段相等：对应中线、高、角平分线、周长、面积都相等。 题型解读 题型1直角三角形的两个锐角互余 例1．如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式1．如图，，于点E．若，则的度数为__________． 变式2．如图，在中，，为的高线，为的中线．求证：． 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 例2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，平分，，，，则是____三角形． 变式2．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 题型3写出命题的逆命题 例3．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 变式1．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 变式2．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． (1)两条直线相交只有一个交点． (2)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ (4)等角的补角相等． (5)互为倒数的两个数的积为1． 题型4判断是否为互逆命题 例4．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 变式1．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 变式2．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型5定理与证明 例5．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 变式1．“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 变式2．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型6互逆定理 例6．下列说法正确的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．成语“守株待兔”描述的事件是不可能事件 C．任何定理一定有逆定理 D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 变式1．定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 变式2．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 题型7用HL证全等（HL） 例7．如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 变式2．如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 题型8全等的性质和HL综合（HL） 例8．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 变式2．如图，，，点在上，与交于点． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 巩固测试 一、单选题 1．下列命题中逆命题为假命题的是（   ） A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B．等边三角形三条边相等 C．四边形是多边形 D．若，则 2．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 4．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 二、填空题 6．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 7．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 8．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 9．在中，，，则的度数等于________． 10．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 三、解答题 11．如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 12．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 13．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 15．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 直角三角形 同步讲义题型导航 (新教材北师大版) 知识梳理 【知识点一、直角三角形定义】 1.定义：有一个内角等于 90°的三角形叫做直角三角形。 如上图，RT△ABC中,∠B=90°，AB、BC为直角边，AC是斜边 【知识点二直角三角形的性质】 1. 直角三角形的两锐角互余； 几何语言：∠A+∠C=90° 2. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 几何语言：AB2+BC2=AC2      3. 在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半； 几何语言：在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC=AC 4.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：在Rt△ABC中，点D为AC中点，则BD=AC。 【知识点三、直角三角形判定】 1.定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形； 2.两个锐角互余：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a， b， c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形； 4.直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 【知识点四、常见题型应用】 1.求边长：直接用勾股定理或特殊角比例； 2.证明线段倍半关系：用 “斜边中线 = 斜边一半” 或 “30° 对边 = 斜边一半”； 3.折叠、翻折问题：折叠后出现直角，用勾股定理列方程； 4.坐标系求距离：构造直角三角形，用勾股算长度。 【知识点五、互逆命题和互逆定理】 1. 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。 提示：命题有真有假，定理都是正确的，即都是真命题。 3. 互逆命题与互逆定理的关系 每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理。 【知识点六：直角三角形全等的判定（直角边、斜边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．如下图： 【注意】用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”． 2.HL 的使用条件（必须同时满足） 两个三角形都是直角三角形（有一个角 = 90°） (1)斜边对应相等, (2)一组直角边对应相等 【注意】HL只能用于直角三角形,普通三角形不能用 【知识点七、全等三角形的性质】 对应边相等； 对应角相等； 对应线段相等：对应中线、高、角平分线、周长、面积都相等。 题型解读 题型1直角三角形的两个锐角互余 例1．如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：∵，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴图中与(除外)相等的角的个数是2． 变式1．如图，，于点E．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 利用平行线的性质可求得，再利用垂直可得，从而可求的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．如图，在中，，为的高线，为的中线．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形三线合一得到，，进而得到，根据高线的定义得到，可知． 【详解】证明：∵，为的中线， ∴，， ∴， ∵为的高线， ∴， ∴， ∴． 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 例2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 变式1．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 变式2．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 题型3写出命题的逆命题 例3．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 变式1．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 变式2．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． (1)两条直线相交只有一个交点． (2)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ (4)等角的补角相等． (5)互为倒数的两个数的积为1． 【答案】(1)是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等 (5)是命题，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数 【分析】根据命题的定义先判断出哪些是命题，再按要求写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． 【详解】（1）是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交． （2）不是对一件事情做出判断的句子，故不是命题． （3）提问的表述不是对一件事情做出判断，故不是命题． （4）是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等． （5）是命题，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数． 【点睛】本题考查了命题的定义，写逆命题，解题的关键是掌握命题的判断方法． 题型4判断是否为互逆命题 例4．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 变式1．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 变式2．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2） 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 题型5定理与证明 例5．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 变式1．“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 【答案】定理 【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理． 故答案为：定理． 变式2．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型6互逆定理 例6．下列说法正确的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．成语“守株待兔”描述的事件是不可能事件 C．任何定理一定有逆定理 D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角性质、事件的分类、定理与逆定理的关系、全等三角形的判定，逐一分析每个选项的说法是否符合对应知识点的定义或性质即可． 【详解】分析选项A：∵三角形的外角性质是“外角大于与它不相邻的内角”，而钝角三角形中钝角大于外角，则外角小于该内角，∴选项A错误； 分析选项B：∵不可能事件是一定不会发生的事件，而“守株待兔”描述的是有可能发生但概率极低的事件，属于随机事件，∴选项B错误； 分析选项C：∵定理的逆命题需为真命题时，才有对应的逆定理(如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，无逆定理)，∴选项C错误； 分析选项D：∵等腰直角三角形的两个锐角都是，若两个等腰直角三角形斜边相等，则可通过“ASA”判定全等，∴选项D正确． 故选：D． 变式1．定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 变式2．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 题型7用HL证全等（HL） 例7．如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 变式1．你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 【答案】 【分析】用数学方法解决生活中有关的实际问题，转化为全等三角形解决问题． 【详解】解：由题可知，,,, , 在和中， , , 变式2．如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 题型8全等的性质和HL综合（HL） 例8．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 变式1．如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【答案】/15度 【分析】证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式2．如图，，，点在上，与交于点． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据得，又因为，，得，故； （2）结合，得，故是等腰三角形．即可作答． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ， ． （2）解：是等腰三角形． 由（1）知， ， 则是等腰三角形． 巩固测试 一、单选题 1．下列命题中逆命题为假命题的是（   ） A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B．等边三角形三条边相等 C．四边形是多边形 D．若，则 【答案】C 【分析】先明确逆命题的定义，将每个原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题改写为：若一个三角形是直角三角形，则两条直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题为：若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，逆命题为真命题，故本选项不符合题意； B、原命题改写为：若一个三角形是等边三角形，则它的三条边相等，逆命题为：若一个三角形三条边相等，则它是等边三角形，逆命题为真命题，故本选项不符合题意； C、原命题改写为：若一个图形是四边形，则它是多边形，逆命题为：若一个图形是多边形，则它是四边形， ∵多边形包含三角形、五边形等不同边数的图形，不是所有多边形都是四边形， ∴逆命题为假命题，故本选项符合题意； D、原命题改写为：若，则，，逆命题为：若，，则，逆命题为真命题，故本选项不符合题意； 2．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 3．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理的定义，掌握判断定理是否有逆定理的方法是解题的关键． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【详解】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴ D有逆定理，不符合题意． 故选：C． 4．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴. 5．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 6．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 7．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 8．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 9．在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 10．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 11．如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】逆命题为：在中，，若，则．证明见解析． 【分析】本题考查的是逆命题定义及证明，根据题意交换命题的条件和结论得出逆命题，再证明；延长至点，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形性质得出结论即可． 【详解】逆命题为：在中，，若，则． 证明：延长至点，使，连接， 则垂直平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 12．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 13．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 14．如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过线段和差关系证明，根据平行线的性质结合证明，进而证明，最后根据全等三角形的对应角相等即可得证； （2）先通过线段和差关系求解，的长，在中，由勾股定理求解的长，证明，得到的长，以及，在中，由勾股定理求解的长，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 15．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理判定即可得到； （2）由（1）中，得到，在中，由得到，从而得到，即可确定与的位置关系； （3）在、中，由勾股定理分别求出，设，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理列方程求解得到，数形结合计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，， ， 在中，， 在中，，则， ； （3）解：在中，，则由勾股定理可得， 在中，，则由勾股定理可得， 设， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余、直角三角形判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $