分类求解与零点有关的参变量的取值范围策略 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

分类求解与零点有关的参变量的取值范围策略 函数零点是高中函数章节中的重要内容,它常常与方程、不等式等知识交汇，所涉及到的题型很多是求含参数的取值范围问题,这是每年高考考查的重点和热点，因此其重要性不言而喻.求参数范围的函数零点问题综合性较强,始终是很多高中生在数学学习中的难点问题.本文结合具体实例给出与函数零点相关的问题中，如何求解含参数取值范围的一些常见的解题思想与方法，以期对莘莘学子的学习有所帮助和借鉴. 类型一、用零点存在性定理确定参数范围 例1.已知函数(其中是自然对数的底数),若在区间内有零点,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 解析 由于函数和在上均单调递减，则在区间上单调递减,且在区间内有零点,从而知连续函数在区间内只有一个零点；由函数零点的存在性定理得,解得,所以实数的取值范围是.故选B. 【方法点拨】利用函数零点存在性定理解题,不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数在给定区间上零点的个数，然后再通过解不等式的思想得出所求参数的取值范围. 类型二、用函数与方程思想解出参数范围 例2.已知二次函数在区间内存在零点,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 解析 由于函数在区间内存在零点,等价于方程在区间内存在实数根.解得方程的根为或；依题意,只需或,解得或,即得，所以实数的取值范围为.故选D. 【方法点拨】将函数零点的相关问题转化成求方程根的问题,当函数对应方程的根容易求解时,可先直接解出方程的根,再根据方程根所满足题中条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)来确定参数的取值范围，是解决这类题型的常用方法.本题要理解好“在区间内存在零点”这句话的含义，在此表明区间内可有一个或两个零点，防止因理解不当而致错. 类型三、用化归与转化思想求解参数范围 例3.若关于的方程的一个根在区间内,另一个根在区间内，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 解析 设函数,易知是一个二次函数,其图象是一个开口向上的抛物线.由于方程的一个根在区间内,另一个根在区间内，等价于函数的一个零点在区间内,另一个零点在区间内，进而转化为函数的图象与轴两个交点的横坐标一个属于区间内,另一个属于区间内.于是有且且；解得,即实数的取值范围是.故选B. 【方法点拨】将方程在某区间上有解的问题,等价转化为函数在对应某区间上有零点来处理；本题通过二次函数零点的分布情况，根据二次函数在相应区间上的图象与性质特点,进一步将题中满足的条件化归为含参数的不等式(组)来完成，从而到达求解参数范围的目的. 类型四、用分类讨论思想求解参数范围 例4.已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 解析 令,得；又设和,则问题等价于当两个函数图象的有交点时,求实数的取值范围.而,作出偶函数的图象,再作出常函数的图象,如图所示.根据两者图象交点的情况可知:当时，函数有个零点(无零点)；当或时，函数有个零点；当时，函数有个零点；当时，函数有个零点.综上所述,函数存在零点时,实数的取值范围为.故选A. 【方法点拨】本题是一个关于的二次函数的零点讨论问题,通过去掉绝对值将函数化为一个分段函数,然后在同一坐标系中作出和两函数的图象,再根据两函数图象交点的个数对参数进行分类讨论,讨论应遵循“不重复、不遗漏”的原则.在含有待求参数的函数零点问题解题中，当这些参数取值的情况直接影响着两个函数图象的交点个数时，即影响原函数的零点个数,此时需要对参数进行分类讨论. 类型五、用数形结合思想求解参数范围 例5.已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 解析 由于函数有三个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,等价于函数与的图像有三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出两函数与的图象如图所示,结合图形观察两函数交点的个数,易得当时,两函数与的图象有三个不同的交点.故满足题意的实数的取值范围为.故选C. 【方法点拨】由于函数的图象是“数与形”结合的最佳载体，因此在处理有些涉及函数的零点、求解函数中含参数的取值范围及解一些特殊不等式等问题时,可结合函数的图象使问题轻松获解.在解题训练中，同学们要争取做到胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.在求解操作中,往往需将函数解析式变形拆分成两个易作出图象的函数,在坐标系中作出两函数的图象,通过数形结合来达到求解目的. 类型六、分离参数借助函数值域求得参数范围 例6.已知函数,若方程有解,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 解析 由方程,即,得 ,所以，即.令,则，从而有.因为在上单调递增,所以,即实数的取值范围是.故选D. 【方法点拨】这类题型是先将函数零点问题转化为方程根的问题,再从方程中把参数分离出来,转化成求函数值域问题加以解决.这样的方法思路简洁，大家也容易想到，是一种解决函数零点与方程根中求解含参数范围问题的重要解题策略. 针对训练题 1.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2.若二次函数在区间内有两个不同的零点,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 3.若一元二次方程的一根比大，另一根比小,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 4.已知函数,若的所有零点都在区间内,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 5.已知函数,若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 6.若函数有两个零点，则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 针对训练题答案与解析 1.解:C 因函数和在区间上均单调递增，则在区间上单调递增；又函数的一个零点在区间内,则,即得，所以,解得. 2.解:B 函数在区间内有两个不同的零点,等价于方程在区间内有两个不同的实数根；解得方程两个根为或，则必有且，解得. 3.解:C 令函数,则图象是一个开口向上的抛物线.由一元二次方程的一根比大，另一根比小,等价转化为二次函数的两个零点一个比大，另一个比小；于是有,且,解之得.故实数的取值范围为. 4.解:B 由于,函数的图象是开口向上的抛物线,且抛物线的对称轴方程是；又的所有零点都在区间内，而二次函数仅有一个或两个零点.当有一个零点时,可得,解得；当有两个零点时,则必有,且,且，解得.综上所述得实数的取值范围为. 5.解:D 作出函数的图象如图所示.要使函数有两个不同的零点,只需函数与的图象有两个不同的交点.由图象观察和分析可得，解得 .故实数的取值范围为. 6.解:C 令,可得.则函数为偶函数,其值域为.在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象,依题意两图象有两个不同的交点,故. 学科网（北京）股份有限公司 $