亮剑绝杀“求离心率的取值范围问题”策略(二)讲义-2026届高三数学二轮复习

亮剑绝杀“求离心率的取值范围问题”策略(二) 圆锥曲线的离心率,是描述曲线形状的重要几何元素,是圆锥曲线的重要性质之一,也是高考试题中考查的重点和热点.对离心率的考查实质上是对圆锥曲线的几何量和几何性质的考查,因此熟练掌握圆锥曲线的相关知识是解决问题的根本.本文结合经典试题,亮剑椭圆与双曲线中求解离心率取值范围的各种方法,以供同学们参考和借鉴.本问题分为两个专题来讲解，这是第(二)课时讲义. 六、利用曲线的范围发掘不等关系 例6.设椭圆的左、右焦点分别为,若在椭圆上存在一点,使得,求离心率的取值范围. 【解析】设,,知焦点,又因,则有；由点在上,得；将上面两式消去,解出.而由椭圆范围及,知,即,且,化简得；可得，又，解得.故离心率的取值范围为. 【方法点拨】根据点在圆锥曲线上的位置关系,利用该点的横、纵坐标所必须满足的限制条件范围,列出一个关于的齐次不等式,再转化成关于的不等式并求解之即可. 七、利用点或直线与曲线位置定不等关系 例7.已知椭圆,短轴顶点,若椭圆内接三角形的重心恰是椭圆的左焦点,则其离心率的取值范围为________. 【解析】设,.又,由三角形重心坐标公式得,,从而得弦中点为.因为点在椭圆内部,代入其坐标满足,可得,且,解得,即椭圆离心率的取值范围为.故填. 【方法点拨】当点在圆锥曲线的内部(内侧)或外部(外侧)时,可将点坐标代入到圆锥曲线方程的左边,视情况而定直接转化为不等式求解；当已知直线与圆锥曲线的位置关系时,一般可利用判别式构造不等式求解,但若是直线与双曲线时,可数形结合视具体情况来确定直线斜率与渐近线斜率的不等关系. 八、利用题中条件等价转化不等关系 例8.已知双曲线的焦距为,直线过点和,且点到直线的距离与点到直线的距离之和,则双曲线离心率的取值范围为________. 【解析】依题意,直线的方程为,即.由于点到直线的距离；点到直线的距离；由条件知,可得,化为,平方整理得,即得；又,解得.故填. 【方法点拨】利用解析几何的知识和方法，将题中的不等关系等价化为仅含有离心率的不等式,充分体现了求圆锥曲线离心率问题中的化归与转化的数学思想. 九、利用基本不等式求解范围 例9.已知点在双曲线的左支上,双曲线的左、右焦点分别为,若的最小值为,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】由题意及双曲线定义知,则有 .由基本不等式知,当且仅当,即时,取得最小值为；由性质知,即得,所以,且,从而得离心率.故选B. 【方法点拨】对于取值范围与最值问题的求解,往往离不开基本不等式的应用；因此,在求离心率的取值范围或最值时,同样可借助基本不等式来达到迅速求解目的,但在解题时必须注意等号能否取到,同时还需要注意离心率本身的取值范围. 十、利用第二定义借助几何图形建立不等关系 例10.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，若到右准线的距离为，且的长依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围. 【解析】依题意知，又由双曲线第二定义得，即；从而有，即 ①.又是双曲线右支上一点，由双曲线定义得 ②.由①②式解得,在焦点三角形中,有(当且仅当三点共线时取等号),所以 ,即,又,解得,故离心率的取值范围为. 【方法点拨】根据双曲线的几何性质及其第一与第二定义、数列中的等比中项和不等式等知识，凸显解析几何的特点,通过数形结合与方程的思想作为解题指导,巧用定义寻找几何图形中量的不等关系,借用焦点三角形助力求解,从而避开繁杂的运算而使问题巧妙获解. 【变式训练题】 6.在双曲线的右支上存在一点,使它到右焦点的距离与到直线的距离相等,则其离心率的取值范围为________. 7.过双曲线的右焦点作双曲线的斜率为正的渐近线的垂线,若使与双曲线的左右两支均相交,则双曲线离心率的取值范围为________. 8.已知椭圆的右焦点为,短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点,若,点到直线的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围为________. 9.已知椭圆的两焦点为,若在椭圆上恒存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.若椭圆上存在一点,使得点到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 变式训练题答案与解析 6.解:设,则有,即代入下面式子中化简，可得,又到直线的距离.由,得,又因,且,于是有,化为,即,且,解得,即离心率.故填. 7.解:依题意知渐近线方程为,右焦点；则垂线方程为,结合图形可得,化简得,则有,且；解得,即所求离心率的取值范围为.故填. 8.解:设椭圆的左焦点为,连结.由椭圆对称性知,四边形的两对角线互相平分,得四边形是平行四边形，所以,则,即.不妨设,则到直线的距离,可得,则,所以,即,可得,所以离心率.故填. 9.解:C 设椭圆的焦距,由椭圆的定义得；在中,由余弦定理得 ,于是得 (当且仅当时取等号),可得,且,解得. 10.解:选 C 设分别为左、右焦点,点到左准线的距离为,离心率，.由椭圆第二定义得,即；又因，则由定义知,得.因，则在焦点三角形中,有(当且仅当三点共线时取等号),即，化简得,且,解得. 学科网（北京）股份有限公司 $