亮剑绝杀“求离心率的取值范围问题”策略(一)讲义-2026届高三数学二轮复习

亮剑绝杀“求离心率的取值范围问题”策略(一) 圆锥曲线的离心率,是描述曲线形状的重要几何元素,是圆锥曲线的重要性质之一,也是高考试题中考查的重点和热点.对离心率的考查实质上是对圆锥曲线的几何量和几何性质的考查,因此熟练掌握圆锥曲线的相关知识是解决问题的根本.本文结合经典试题,亮剑椭圆与双曲线中求解离心率取值范围的各种方法,以供同学们参考和借鉴.本问题分为两个专题来讲解，这是第(一)课时讲义. 一、利用定义由圆锥曲线性质寻求不等关系 例1.已知椭圆的两个焦点分别为,若是椭圆上一点，且，求椭圆离心率的取值范围. 【解析】法1:因点是椭圆上一点,由椭圆定义知,又,由以上两式解得,.由椭圆焦半径性质知(或),则有(或),总可得,且,解得.故椭圆离心率的取值范围为. 法2:(前同法1)在焦点中,显然有(当且仅当三点共线时取等号),即，则有,且,解得.故. 【方法点拨】这类题通常利用圆锥曲线的定义及题中条件,先得出其焦半径的长,然后通过椭圆中焦半径性质得出不等式再求解；在双曲线中对应性质为:较短焦半径(或),较长焦半径(或).另外，也可以通过“三角形中两边之和大于第三边,或两边之差小于第三边”，“直角三角形中斜边大于直角边”等几何关系来求解. 二、利用函数思想求值域化为不等关系 例2.设双曲线方程为,若,则双曲线离心率的取值范围为________. 【解析】依题意可得,令,易证是上的递减函数，则有,即；从而有,且,解得.故所求离心率的取值范围为. 【方法点拨】根据题中条件,利用圆锥曲线的定义、性质、等量关系等几何量建立离心率与某个变量的函数关系,再通过函数求值域的方法来实现求解离心率的取值范围,在解题中要特别关注函数的定义域. 三、构造二次函数利用判别式确定不等关系 例3.设椭圆的左、右两个焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得,求椭圆离心率的取值范围. 【解析】由椭圆定义知,平方得；设,又因,由勾股定理得,代入上式可得.于是,可把焦半径的长看作是关于的一元二次方程的两实数根,显然该方程有解,由,可得,且；解得.故椭圆离心率的取值范围为. 【方法点拨】通过题中条件来构造一个有解的一元二次方程,并利用判别式确定一个含有的齐次不等式是解决这类题型的关键；有时可通过联立二元方程组消去其中一个元后,得关于另一个元的二次方程有解，再利用判别式来求解. 四、利用正余弦定理视情况寻不等关系 例4.已知双曲线的左、右两个焦点分别为,若为右支上一点,且,则双曲线离心率的取值范围是________. 【解析】可设,依题意得,由双曲线定义得 ,又设(),当点在右顶点处时；在中，由余弦定理得,又因,则,从而离心率.故双曲线离心率的取值范围是. 【方法点拨】这类问题应根据题中条件,在现有三角形中利用正弦或余弦定理得出等量关系,让焦半径或焦距用某些几何量来表示,再将离心率建立以这些几何量为自变量的函数关系式,通过求函数值域的方法来达到求解目的；有时也会利用圆锥曲线的性质建立关于的齐次不等式,可通过方程中或焦半径固有的取值范围来实现. 五、利用数形结合由曲线性质得不等关系 例5.已知斜率的直线过双曲线的右焦点,若与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线离心率的取值范围是________. 【解析】依题意知双曲线的渐近线方程是,作出它们的图像如图所示.而是过双曲线右焦点的直线,要使与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,结合图形得直线的斜率的绝对值,即,且,于是得,平方有,则得,所以,且,解得,即双曲线离心率的取值范围是.故填. 【方法点拨】在研究直线与双曲线的交点个数问题时,需考虑清楚的斜率与渐近线的正斜率的关系.当时,则与相交于两点,且交点分别在左、右两支上；反之,若与的两个交点分别在左、右两支上,则有.当时,则与的渐近线平行(即仅与的某一支有一个交点)或重合(即与有个交点)；反之,若与仅有一个交点,则(即与的渐近线平行)或通过直线方程和双曲线方程联立方程组并由判别式求解(即与相切).当时,则与的同一支相交于两点,或与相切或相离；反之,若与的同一支相交于两点,则.类似地,对双曲线的情况如下:当时,则与相交于两点,且交点分别在上、下两支上；反之,若与的两个交点分别在上、下两支上,则有.当时,则与的渐近线平行(即仅与的某一支有一个交点)或重合(即与有个交点)；反之,若与仅有一个交点,则(即与的渐近线平行)或通过直线方程和双曲线方程联立方程组并由判别式求解(即与相切).当时,则与的同一支相交于两点,或与相切或相离；反之,若与的同一支相交于两点,则. 【变式训练题】 1.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率的取值范围. 2.已知椭圆与双曲线的两焦点分别重合,若分别为的离心率.(1)求的取值范围；(2)求的取值范围. 3.设双曲线与直线相交于不同的两点，求双曲线离心率的取值范围. 4.设椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点使,则椭圆离心率的取值范围为________. 5.已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则双曲线离心率的取值范围为________. 变式训练题答案与解析 1.解:因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，又,由上述两式解得.设双曲线的右顶点为，由双曲线的性质知,即,则,得,又因,所以.故双曲线的离心率的取值范围为. 2.解:(1)由椭圆与双曲线的两焦点分别重合,可得,即；又,,知,且,则有,而,即,且,解得.故的取值范围为. (2)由(1)知,且,,可得；又.于是得.故的取值范围为. 3.解:联立方程组，消去整理得；由题意知方程有两个不等实根，显然且,则有,解得,且.于是有,且,又离心率,可得,且.故所求离心率的取值范围为. 4.解:在中,由正弦定理得,即；又因,即；于是得,即.由椭圆定义知,从而解得.又因(不等式两边均不能取等号,否则题中条件分式中的分母为,无意义),即,可得,且；解得.故填. 5.解:依题意,由双曲线的对称性知是等腰三角形,如图所示.若是锐角三角形,则其顶角，即,在中,则有；由于,将直线方程代入双曲线方程中,可得,解得.从而得,且均为正数,则得,化为,且,解得,即双曲线离心率的取值范围为.故填. 学科网（北京）股份有限公司 $