精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（理）

新蔡一高2025－2026学年高二数学下学期3月份月考 数学试题（理） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用与的关系确定的通项，然后得出题设结论． 【详解】先写出的通项是， 数列的通项公式是． 故选：A． 2. 为了打造绿色校园，学校启动绿植培育项目．第一周培育了10盆绿植，之后每周比上一周多培育5盆，按照这个规律持续培育8周，一共培育了绿植（ ） A. 210盆 B. 220盆 C. 230盆 D. 240盆 【答案】B 【解析】 【分析】每周培育的绿植盆数构成等差数列，由题意可知，利用等差数列的前项和求解． 【详解】每周培育的绿植盆数构成等差数列，设为，公差为，则， 所以周一共培育了绿植盆． 故选：B. 3. 已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则= A. B. 7 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝ 故答案为 考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想． 4. 若数列满足，，则（    ） A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 5. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 6. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 7. 若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可. 【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立； 必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立， 故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 8. 已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的判定与证明，可知是公差为的等差数列，根据数列的递推关系，数列的函数特征的计算，得结合对勾函数的单调性，计算求出实数的取值范围. 【详解】由，得. ，即， 是公差为的等差数列， ， ， 即，. . ，， 即， 即. 则，对于在上单调递减，上单调递增， 的最小值只能在或处取得， 当时，，当时，， ，所以 ，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若一尺之棰长度为1，第一天得到的长度为，第天得到的长度记为，且数列的前项和为，则（ ） A. 是公比为的等比数列 B. C. 任意， D. 存在，，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列的定义、通项公式、前项和公式，结合任意性定义、存在性定义逐一判断即可. 【详解】根据题意，结合等比数列的定义可知是公比为的等比数列， 所以选项A正确； ，所以选项B不正确； ，任意， 因为 所以，因此选项C正确； 若， 因为，公比为，， 所以该等比数列是单调递减数列， 所以， 所以，因此不存在，，使得， 所以选项D不正确. 故选：AC 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 11 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假. 【详解】对A选项：令可得：，故A错误； 对B选项：递推公式两边同除以，可得，即， 又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确； 对C选项：由B可知：，所以， 所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对D选项：因为， 所以数列的前99项和为： ，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片______块. 【答案】570 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式计算． 【详解】从上面一层开始每层瓦片数依次记为，则它等差数列，且，且公差， 则， 故答案为：570. 13. 若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______． 【答案】300 【解析】 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 14. 已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，结合分类讨论思想、数列的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，， 所以该数列奇数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 该数列偶数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 因此对恒成立，即恒成立， 因为数列奇数项最小值为，偶数项的最小值为， 所以数列的最小值为，故只需， 因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. （1）数列{an}前多少项和最大？ （2）求{|an|}的前n项和Sn. 【答案】（1）前17项；（2）Sn＝. 【解析】 【分析】（1）利用通项公式表示已知条件，得到关于首项和公差的方程组，求解后得到通项公式，探究项的正负，进而得到答案； （2）根据（1）中的正负项的研究结论，对于前面的正项取绝对值后不变，直接用原等差数列的求和公式计算；对于后面有负数项的情况，利用凑配法转化为原等差数列的和的组合的问题进行运算可得结论. 【详解】（1）由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an>0，得n<， ∴当n≤17，n∈N*时，an>0； 当n≥18，n∈N*时，an<0， ∴{an}的前17项和最大. （2）当n≤17，n∈N*时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2 ＝n2－n＋884 ∴Sn＝ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求和公式，考查等差数列的绝对值数列的求和问题，属中档题，关键是根据绝对值的性质，分类讨论，并适当配凑转化为可利用等差数列的求和公式计算的形式. 16. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列和等差数列前项和公式进行分组求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以数列的前项和 . 17. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【小问1详解】 由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. 【小问2详解】 由， 则， 所以 即. 18. 已知数列满足：.设. （1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意构造出，可得数列为等比数列，即可得的通项公式； （2）由的通项公式得到，结合已知得到，即可得数列的前项和. 【小问1详解】 由题意可知：， ， 故， 得， 故是以为首项，为公比的等比数列， 且，故； 【小问2详解】 由（1）知，，即， 由题意知：，故， 故数列的前项和 . 19. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围. 【小问1详解】 在数列中，且，则，， 所以数列是以1为公差的等差数列，，即. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025－2026学年高二数学下学期3月份月考 数学试题（理） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 为了打造绿色校园，学校启动绿植培育项目．第一周培育了10盆绿植，之后每周比上一周多培育5盆，按照这个规律持续培育8周，一共培育了绿植（ ） A. 210盆 B. 220盆 C. 230盆 D. 240盆 3. 已知各项均为正数等比数列{}，=5，=10，则= A B. 7 C. 6 D. 4. 若数列满足，，则（    ） A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048 5. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若一尺之棰长度为1，第一天得到的长度为，第天得到的长度记为，且数列的前项和为，则（ ） A. 是公比为的等比数列 B. C. 任意， D. 存在，，使得 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A. 数列中，最大 B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 11 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定等比数列 D. 数列的前99项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片______块. 13. 若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______． 14. 已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. （1）数列{an}前多少项和最大？ （2）求{|an|}的前n项和Sn. 16. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 18. 已知数列满足：.设. （1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $