专题10平行线判定.垂线与平行线间距离同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题10平行线判定.垂线与平行线间距离同步讲义 · 掌握平行线的三种判定方法，能正确进行推理判断。 · 理解垂线的概念与性质，会画垂线，知道垂线段最短。 · 理解点到直线的距离，会进行简单应用。 · 理解平行线间的距离，知道其处处相等并会计算。 · 规范几何语言，提升推理与识图能力。. 必备知识 点梳理 1.平行线的判定 2.垂线的定义与性质 3.两条平行线间的距离 常考题型 精讲精炼 1.同位角相等.两直线平行 2.内错角相等.两直线平行 3.同旁内角互补.两直线平行 4.由平行线判定与性质求角度 5.由平行线判定与性质证明 6.垂线的定义理解 7.同平面垂直于同线的两线平行 8.垂线的画法 9.垂线段最短 10.点到直线的距离 11.求平行线间的距离 12.由平行线间距离解决问题 强化巩固 解答题(5题) 【知识点01.平行线的判定】 1.同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。 2.内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角和为 180°，则两直线平行。 4.推论 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 符号语言：∵ a⊥c，b⊥c（已知），∴ a∥b（垂直于同一直线的两直线平行）▶ 推导：由垂直得∠1=∠2=90°（同位角相等），再证平行；此推论仅适用于同一平面内，空间中不成立。 【知识点02.垂线的定义与性质】 1.定义 两条直线相交成直角（90°），称这两条直线互相垂直，记作 AC⊥BD。 2.基本性质 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【知识点03.两条平行线间的距离】 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 3.与点到直线距离的关系 平行线间的距离，本质就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离 【题型1.同位角相等两直线平行】 【典例】如图，请给出一个条件：______，使的理由是同位角相等，两直线平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是正确认识同位角． 在图中找到能证得的同位角即可． 【详解】解：∵图中使的理由是同位角相等，两直线平行， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定方法；根据同位角相等，两直线平行即可判断 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：由条件，可以通过同位角相等，两直线平行得到，不能得到，故①不符合题意； 由条件，可以通过内错角相等，两直线平行得到，故②符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故③符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故②符合题意； 综上可知，能判定的是②③④． 【跟踪专练3】如图，要使，可以添加的条件是 （    ） ①；②；③； ④；⑤． A．①③ B．②④ C．①②③ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键， 平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，逐个判断即可． 【详解】解：①根据，内错角相等，两直线平行，能推出，不能推出，不符合题意； ②根据，能推出，符合题意； ③根据，能推出，不能推出，不符合题意； ④根据，能推出，符合题意； ⑤根据，能推出，符合题意； 综上，要使，可以添加的条件是②④⑤． 故选：D． 【题型2.内错角相等两直线平行】 【典例】如图所示，已知，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据“内错角相等，两直线平行”判定，再根据平行线的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 【跟踪专练2】如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ，. ， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 【跟踪专练3】如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合图形中角的位置关系依次进行判断即可． 【详解】解： A、与分别在直线，的外侧，且在截线的同侧，不是同位角也不是内错角，无法判断，故A错误，该选项不符合题意； B、与是直线，被直线所截形成的同位角， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故B正确，该选项符合题意； C、与是直线 ， 被直线所截形成的角，与直线无关，无法判断，故C错误，该选项不符合题意； D、与涉及四条直线，无法直接判断，故D错误，该选项不符合题意． 故选 ：B． 【题型3.同旁内角互补两直线平行】 【典例】如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是__________，依据是__________．    【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据题意推出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．进行判定即可作答． 【详解】解：A．，满足内错角相等，能判断直线； B．，不能判断直线； C．，满足同位角相等，能判断直线； D．，满足同旁内角互补，能判断直线． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 【跟踪专练3】如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据同位角相等、两直线平行，内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项进行判断． 【详解】解：和是、被 所截形成的内错角， 当时， 根据同旁内角互补，两直线平行，可证， 故①能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故②不能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 故③能判定； 和是、被所截形成的同位角， 根据同位角相等，两直线平行，可证， 故④能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故⑤不能判定； 综上所述，能判定的条件有个． 故选：C． 【题型4.由平行线判定与性质求角度】 【典例】如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】.两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【跟踪专练3】如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点D作，可得，得出，，，利用，求出，再求出，即可求解． 【详解】如图，过点B作，过点D作， ∵直线， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型5.由平行线判定与性质证明】 【典例】如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】 D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，根据题干思路解答即可． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由题意直接根据平行线的性质与判定，对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A． 若，则，不符合题意； B． 若，则，原推理错误，符合题意； C． 若，则，不符合题意； D． 若，则，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是__________ ． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质和外角定理可得答案． 【详解】解：平分， ， 平分， ， 又， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； 若， ， ， ， ， ，故④正确； 从现有条件无法推导出③的结论． 故答案为：①②④． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同位角的定义，由同位角的定义即可判断①；由内错角相等，两直线平行即可判断②；证明即可判断③；求出即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①与互为同旁内角，故①错误，不符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 【题型6.垂线的定义理解】 【典例】如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算，再根据垂直的定义得到，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，再证明，得到，进而根据角的和差关系即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【题型7.同平面垂直同线两线平行】 【典例】如图，直线，．若，则的大小为_____度． 【答案】113 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平角等知识点，可证明直线，由平行线的性质求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵直线，， ∴直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】解：由，，是同一平面内的三条直线， 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、根据平行公理的推论，同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∵，， ∴，该选项正确，符合题意． 【跟踪专练2】在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究，平行线的判定与性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．通过分析直线间位置的交替规律，与的位置关系以4为周期循环，然后即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， 依此类推，，，，，… 可以发现，与的位置关系以4为周期循环， ∵，余数为0， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故选：D． 【题型8.垂线的画法】 【典例】下列各图中，过直线l外点P画l的垂线，三角板操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．未经过点P，操作错误； B．不垂直于l，操作错误； C．经过点P，且垂直于l，操作正确； D．不垂直于l，操作错误． 【跟踪专练1】下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线，根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是①③； 故选：B． 【跟踪专练2】按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 【跟踪专练3】下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；③在同一平面内，若有一条直线和一点，则过点可以作两条直线和垂直于直线；④P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，，，，则点P到直线a的距离一定是1；⑤平移前后的两个图形的对应点连线一定平行.真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】A 【分析】利用平行公理可判断①；由点到直线的距离的定义可判断②与④；由过平面内的一点只能作一条直线的垂线可判断③；由平移的性质可判断⑤． 【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①正确；点到直线的距离是指这点到直线的垂线段长度，②错误；在同一平面内，若有一条直线a和一点A，则过点A只能作一条直线垂直于直线a，③错误；P是直线a外的一点，只有为点P到直线a的垂线段长时，点P到直线a的距离一定是1，④错误；平移前后的两个图形的对应点连线一定平行或在同一条直线上，⑤错误．故正确的个数为1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行公理、点到直线的距离、图形平移的性质等知识点，解题的关键是准确理解以上的定义和性质． 【题型9.垂线段最短】 【典例】运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．2 D．5.5 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段最短，直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点B， ∴， ∴， 故不可能是2． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿某一个方向平移个单位，记三角形扫过的面积为，则下列说法正确的是________．（填写序号）①线段的长度是点到的距离；②的依据是垂线段最短；③点到线段的距离为；④的最大值为． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了垂线段最短，平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，以及平移的性质，分析判断即可． 【详解】解：∵点到的距离是点到的垂线段的长度， ∴线段的长度不是点到的距离， ∴序号①不符合题意； 根据垂线段最短可知，， ∴序号②符合题意； 设点到线段的距离为，则 ， ∴， ∴序号③符合题意； 在三角形ABC中，，，，， ∴，， ∴如图，当沿垂直于的方向平移个单位时，扫过的面积最大， 此时，， ∴序号④符合题意； 故答案为：②③④． 【跟踪专练3】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 【题型10.点到直线的距离】 【典例】如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 【跟踪专练1】跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 【跟踪专练2】如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型11.求平行线间的距离】 【典例】如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 【答案】/ 【分析】本题考查两平行线间的距离处处相等，点到直线的距离是点到直线垂线段的长度． 【详解】解：， 到直线的距离与到直线的距离相等， ， 到直线的距离为线段的长， 到直线的距离为线段的长． 答案为：． 【跟踪专练1】如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，如果，，那么点A到直线b的距离为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：平行线a、b之间的距离． 故选：B． 【跟踪专练2】.，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】B 【分析】利用平行线的性质，以及三角形同底等高面积相等的性质进行判定即可解答． 【详解】因为正方形网格中，P，Q，M，N都在网格格点上，如图， 过A点作BC的平行线，则这条平行线经过N， 根据两平行线之间距离相等的特点，可得， N与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故D选项不符合题意； 过M点作BC的平行线，恰好经过M点、P点，根据三边对应相等可得, M、P分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故A、C选项不符合题意； 与 中，底边BC相等，但是高不相等，所以 与面积不相等， Q分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等，故B选项符合题意； 故正确选项为:B． 【点睛】题目主要考查了两平行线间距离相等，两个三角形同底等高则面积相等的性质． 【题型12.由平行线间距离解决问题】 【典例】如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 【跟踪专练1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，为上一点，将线段沿方向平移至，与交于点，，若与的面积之和为，点是上一点，则当取得最小值为时，的长为_______________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积、垂线段最短、平移的性质，掌握平移的性质，平行线间的距离相等、三角形的面积公式等是解题的关键．连接，，根据已知可得，，设，则， 进而求得，根据与的面积之和为，得出，根据当取得最小值为时，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 设，则， 又∵线段沿方向平移至， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵与的面积之和为， 即 解得： ∴ ∵当取得最小值为时， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键． 通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线n的距离不变，故①不符合题意； ，的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故②符合题意； 点P到直线n的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故③不符合题意； 的大小随点的移动而变化，故④符合题意； 综上所述，随点P的移动而变化的是②④． 故选C． 【解答题】 1．如图，已知点在上，，，垂足分别为、，点、在上，交于点，，，则有．下面是小颖同学的思考过程，请你在括号内填上依据． 思考过程： ，，垂足分别为、（已知）， ，（______） （等量代换）． ______（______）． （______） （已知）， （______） ______（______）， （______） （______） （______） 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，平行公理的推论，根据平行线的判定及性质、垂直定义解答即可． 【详解】证明：，，垂足分别为、（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两条直线平行） 2．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 3．如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点．根据平移性质，得与平行四边形相等，可求解． 【详解】（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ，， 平行四边形的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 4．如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两直线平行内错角相等”得，再结合已知条件可得，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得出答案； （2）先根据“两直线平行同旁内角互补”得，再根据平行线的性质得，然后根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 5．如图，已知：，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用内错角相等证，，然后利用平行公理推论即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10平行线判定.垂线与平行线间距离同步讲义 · 掌握平行线的三种判定方法，能正确进行推理判断。 · 理解垂线的概念与性质，会画垂线，知道垂线段最短。 · 理解点到直线的距离，会进行简单应用。 · 理解平行线间的距离，知道其处处相等并会计算。 · 规范几何语言，提升推理与识图能力。. 必备知识 点梳理 1.平行线的判定 2.垂线的定义与性质 3.两条平行线间的距离 常考题型 精讲精炼 1.同位角相等.两直线平行 2.内错角相等.两直线平行 3.同旁内角互补.两直线平行 4.由平行线判定与性质求角度 5.由平行线判定与性质证明 6.垂线的定义理解 7.同平面垂直于同线的两线平行 8.垂线的画法 9.垂线段最短 10.点到直线的距离 11.求平行线间的距离 12.由平行线间距离解决问题 强化巩固 解答题(5题) 【知识点01.平行线的判定】 1.同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。 2.内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角和为 180°，则两直线平行。 4.推论 符号语言：∵ a⊥c，b⊥c（已知），∴ a∥b（垂直于同一直线的两直线平行）▶ 推导：由垂直得∠1=∠2=90°（同位角相等），再证平行；此推论仅适用于同一平面内，空间中不成立。 【知识点02.垂线的定义与性质】 1.定义 两条直线相交成直角（90°），称这两条直线互相垂直，记作 AC⊥BD。 2.基本性质 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【知识点03.两条平行线间的距离】 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 3.与点到直线距离的关系 平行线间的距离，本质就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离 【题型1.同位角相等两直线平行】 【典例】如图，请给出一个条件：______，使的理由是同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 【跟踪专练3】如图，要使，可以添加的条件是 （    ） ①；②；③； ④；⑤． A．①③ B．②④ C．①②③ D．②④⑤ 【题型2.内错角相等两直线平行】 【典例】如图所示，已知，，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【跟踪专练3】如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【题型3.同旁内角互补两直线平行】 【典例】如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是__________，依据是__________．    【跟踪专练1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【跟踪专练3】如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4.由平行线判定与性质求角度】 【典例】如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【跟踪专练1】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【跟踪专练3】如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型5.由平行线判定与性质证明】 【典例】如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 【跟踪专练1】如图，下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练2】如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是__________ ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【题型6.垂线的定义理解】 【典例】如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【跟踪专练1】如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，则_____． 【跟踪专练3】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【题型7.同平面垂直同线两线平行】 【典例】如图，直线，．若，则的大小为_____度． 【跟踪专练1】已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【跟踪专练2】在同一平面内，现有2025条直线，，，，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.垂线的画法】 【典例】下列各图中，过直线l外点P画l的垂线，三角板操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【跟踪专练2】按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【跟踪专练3】下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；③在同一平面内，若有一条直线和一点，则过点可以作两条直线和垂直于直线；④P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，，，，则点P到直线a的距离一定是1；⑤平移前后的两个图形的对应点连线一定平行.真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【题型9.垂线段最短】 【典例】运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【跟踪专练1】如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．2 D．5.5 【跟踪专练2】如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿某一个方向平移个单位，记三角形扫过的面积为，则下列说法正确的是________．（填写序号）①线段的长度是点到的距离；②的依据是垂线段最短；③点到线段的距离为；④的最大值为． 【跟踪专练3】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10.点到直线的距离】 【典例】如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段________的长度． 【跟踪专练1】跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【题型11.求平行线间的距离】 【典例】如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 【跟踪专练1】如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，如果，，那么点A到直线b的距离为（    ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练2】.，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【题型12.由平行线间距离解决问题】 【典例】如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 【跟踪专练1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，为上一点，将线段沿方向平移至，与交于点，，若与的面积之和为，点是上一点，则当取得最小值为时，的长为_______________． 【跟踪专练3】如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【解答题】 1．如图，已知点在上，，，垂足分别为、，点、在上，交于点，，，则有．下面是小颖同学的思考过程，请你在括号内填上依据． 思考过程： ，，垂足分别为、（已知）， ，（______） （等量代换）． ______（______）． （______） （已知）， （______） ______（______）， （______） （______） （______） 2．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 3．如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 4．如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 5．如图，已知：，．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $