第4章 平面内的两条直线（复习讲义）数学新教材湘教版七年级下册

第四章 平面内的两条直线（复习讲义） 该初中数学单元知识清单系统梳理了“平面内的两条直线”核心内容，涵盖平行线、相交线、对顶角、邻补角、平移及垂线等知识范畴，搭建了从基础概念到性质判定再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析+重难点例题示范”呈现知识体系，如针对“对顶角判定误用”“平行线性质与判定混淆”等易错点设专题分析，结合“三线八角”模型培养几何直观与推理意识。特别设计“概念对比表”和“性质推论关联图”，辅助学生构建知识网络，既便于自主复习，也为教师精准教学提供有力支持。 1.平行线概念：在同一平面内，没有 公共点 的两条直线叫做平行线，平行用符号“ ∥ ”表示. 2.平面内两条直线的位置关系：同一平面内的两条直线的三种位置关系为 相交、重合、平行 . 3.平行公理：经过直线外一点 有且只有 一条直线与这条直线平行. 4.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线 平行 . 即如果，，那么 c . 5.相交线概念：在同一平面内，两条直线 只有一个 公共点时，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫 交点 . 6.对顶角概念：如果两个角有共同的 顶点 ，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的 反向延长线 ，那么这样的两个角叫互为对顶角. 7.对顶角性质： 对顶角相等 . 对顶角是 成对 出现的. 8.邻补角概念：如果两个角有一条 公共边 ，它们的另一边互为 反向延长线 ，那么叫这两个角互为邻补角. 9.邻补角性质： 邻补角互补 （和为180°）. 10.同位角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 同侧 ，且在被截两条直线 同一方 的两个角. 11.内错角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 两侧 ，且在被截两条直线 之间 的两个角. 12.同旁内角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 同侧 ，且在被截两条直线 之间 的两个角. 13.平移概念：在平面内，把图形上每一个点沿 同一方向 移动 相同 的距离，得到另一个图形，这种图形的变换叫平移. 点A平移到了点Aˊ，称点 Aˊ 是点 A 的对应点. 原图形 叫作原像，平移到新位置后的图形叫作原图形在平移下的 像 . 14.平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 平行（或在同一条直线上）且相等 . 平移不改变 图形的形状和大小 ，只改变 图形的位置 . 平移保持任意两点间距离 不变 ，保持角的大小 不变 . 直线在平移下的像是与它 平行 的直线（或者与它是 同一条 直线）. 15.平行线的性质： 性质1：两条平行直线被第三条直线所截， 同位角相等 （简单说成 两直线平行，同位角相等 ）. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等 （简单说成 两直线平行，内错角相等 ）. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截， 同旁内角互补 （简单说成 两直线平行，同旁内角互补 ）. 16.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等 ，那么这两条直线平行（简单说成 同位角相等，两直线平行 ）. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等 ，那么这两条直线平行（简单说成 内错角相等，两直线平行 ）. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补 ，那么这两条直线平行（简单说成 同旁内角互补，两直线平行 ）. 17.垂线概念：在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是 直角 （此时可知其余三个角也是 直角 ），则称这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的 交点 叫作垂足，垂直用符号“ ⊥ ”. 若两条直线相交所成的四个角中 没有直角 ，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 18.平行线的判定定理推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 平行 . 19.平行线的性质定理推论：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也 垂直于另一条 . 20.垂线的性质：在同一平面内， 过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直. 21.垂线段概念：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段 PO 叫作点P到直线l的垂线段. 经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，……，线段PA，PB，PC，PD，……，称为斜线段. 22.垂线段的基本事实：直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 （简单说成 垂线段最短 ）. 23.点到直线的距离概念：从直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫作点到直线的距离. 24.公垂线（段）概念：与两条平行直线都 垂直 的直线，叫作这两条平行直线的公垂线. 这时连接 两个垂足的线段 叫作这两条平行直线的公垂线段. 25.公垂线段性质：两条平行线的所有公垂线段都 相等 . 26.平行线间的距离概念：两条平行线的公垂线段的 长度 叫作两条平行线间的距离. 平行线间的距离 处处相等 . 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的 距离 . 题型一 平面内两条直线的位置关系 【例1】在同一个平面内的两条直线的位置关系有（　　） A．平行或垂直 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交 【变式1-1】下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下面语句中，正确的是（   ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么． A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 题型二 对顶角的定义及其应用 【例1】下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【变式2-2】若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 题型三 同位角、内错角、同旁内角的应用 【例1】下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 题型四 图形的平移及其应用 【例1】在边长为的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于_____． 【变式4-2】如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 题型五 平行线的性质及其应用 【例1】如图，已知直线，将一块含角的直角三角板图示的方式放置，顶点A在直线上，顶点C在直线上，过点C作的平分线交于点D，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为________． 题型六 平行线的判定 【例1】如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，添加一个条件：___________，使得． 【变式6-2】“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数． 题型七 垂线的应用 【例1】如图所示，，与交于点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列说法正确的是（   ） ①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③如果直线，那么； ④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④ D．①②⑤ 【变式7-2】如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴　　　　． 题型八 求平行线间的距离 【例1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】两条平行线之间的距离处处______；从直线外一点到这条直线所画的线段中，______最短． 【变式8-2】如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 基础巩固通关测 1．有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 2．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 4．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 6．玉壶春瓶是中国瓷器中经典的器形之一，相传语出北宋大文学家苏轼“玉壶先春、冰心可鉴”之句．在安徽博物院藏品中就有一件无论器形、纹饰和釉色都近乎完美的明龙泉窑玉壶春瓶．下列“明龙泉窑玉壶春瓶”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 7．某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____ 8．如图，已知、相交于点，则____________． 9．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    10．如图，，下列推理正确的是_______（填编号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 11．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 12．如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)图中与长度相等的线段有_________； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 13．如图，，直线分别交、于点、，分别平分和．求的度数． 14．如图1，，点为边上一动点，连接，且． (1)求证：； (2)当点在的平分线上时，若，求的度数； (3)在点移动的过程中，当的长最小时，此时点恰好也在的平分线上，求的度数． 能力提升进阶练 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，下列条件中能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 6．在螳螂的示意图中，，，，则___________． 7．如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 8．如图，已知交的边于点，那么的内错角是____________． 9．如图，直线与被直线所截得的内错角是________；直线与被直线所截得的内错角是________；图中的内错角是________． 10．如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 11．在如图所示的方格纸中，把四边形ABCD按箭头指示的方向平移，使点A移到点处． (1)请在方格纸中画出平移后的四边形； (2)连接、，与的位置关系是________． 12．理由依据填空：如图，直线、被直线所截，交点分别为A．C，平分，平分，若，求证：． 证明： （________） ∵平分，平分 ，（________） （________） （________）． 13．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 平面内的两条直线（复习讲义） 该初中数学单元知识清单系统梳理了“平面内的两条直线”核心内容，涵盖平行线、相交线、对顶角、邻补角、平移及垂线等知识范畴，搭建了从基础概念到性质判定再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析+重难点例题示范”呈现知识体系，如针对“对顶角判定误用”“平行线性质与判定混淆”等易错点设专题分析，结合“三线八角”模型培养几何直观与推理意识。特别设计“概念对比表”和“性质推论关联图”，辅助学生构建知识网络，既便于自主复习，也为教师精准教学提供有力支持。 1.平行线概念：在同一平面内，没有 公共点 的两条直线叫做平行线，平行用符号“ ∥ ”表示. 2.平面内两条直线的位置关系：同一平面内的两条直线的三种位置关系为 相交、重合、平行 . 3.平行公理：经过直线外一点 有且只有 一条直线与这条直线平行. 4.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线 平行 . 即如果，，那么 c . 5.相交线概念：在同一平面内，两条直线 只有一个 公共点时，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫 交点 . 6.对顶角概念：如果两个角有共同的 顶点 ，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的 反向延长线 ，那么这样的两个角叫互为对顶角. 7.对顶角性质： 对顶角相等 . 对顶角是 成对 出现的. 8.邻补角概念：如果两个角有一条 公共边 ，它们的另一边互为 反向延长线 ，那么叫这两个角互为邻补角. 9.邻补角性质： 邻补角互补 （和为180°）. 10.同位角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 同侧 ，且在被截两条直线 同一方 的两个角. 11.内错角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 两侧 ，且在被截两条直线 之间 的两个角. 12.同旁内角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 同侧 ，且在被截两条直线 之间 的两个角. 13.平移概念：在平面内，把图形上每一个点沿 同一方向 移动 相同 的距离，得到另一个图形，这种图形的变换叫平移. 点A平移到了点Aˊ，称点 Aˊ 是点 A 的对应点. 原图形 叫作原像，平移到新位置后的图形叫作原图形在平移下的 像 . 14.平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 平行（或在同一条直线上）且相等 . 平移不改变 图形的形状和大小 ，只改变 图形的位置 . 平移保持任意两点间距离 不变 ，保持角的大小 不变 . 直线在平移下的像是与它 平行 的直线（或者与它是 同一条 直线）. 15.平行线的性质： 性质1：两条平行直线被第三条直线所截， 同位角相等 （简单说成 两直线平行，同位角相等 ）. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等 （简单说成 两直线平行，内错角相等 ）. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截， 同旁内角互补 （简单说成 两直线平行，同旁内角互补 ）. 16.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等 ，那么这两条直线平行（简单说成 同位角相等，两直线平行 ）. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等 ，那么这两条直线平行（简单说成 内错角相等，两直线平行 ）. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补 ，那么这两条直线平行（简单说成 同旁内角互补，两直线平行 ）. 17.垂线概念：在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是 直角 （此时可知其余三个角也是 直角 ），则称这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的 交点 叫作垂足，垂直用符号“ ⊥ ”. 若两条直线相交所成的四个角中 没有直角 ，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 18.平行线的判定定理推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 平行 . 19.平行线的性质定理推论：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也 垂直于另一条 . 20.垂线的性质：在同一平面内， 过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直. 21.垂线段概念：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段 PO 叫作点P到直线l的垂线段. 经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，……，线段PA，PB，PC，PD，……，称为斜线段. 22.垂线段的基本事实：直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 （简单说成 垂线段最短 ）. 23.点到直线的距离概念：从直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫作点到直线的距离. 24.公垂线（段）概念：与两条平行直线都 垂直 的直线，叫作这两条平行直线的公垂线. 这时连接 两个垂足的线段 叫作这两条平行直线的公垂线段. 25.公垂线段性质：两条平行线的所有公垂线段都 相等 . 26.平行线间的距离概念：两条平行线的公垂线段的 长度 叫作两条平行线间的距离. 平行线间的距离 处处相等 . 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的 距离 . 题型一 平面内两条直线的位置关系 【例1】在同一个平面内的两条直线的位置关系有（　　） A．平行或垂直 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交 【答案】C 【详解】解：∵在同一平面内，两条直线，要么平行，要么相交，且垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系， ∴同一平面内两条直线的位置关系是平行或相交． 【变式1-1】下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及推论逐一判断每个说法即可得到结果． 【详解】解：①若与相交，与相交，则与可能相交，也可能平行，也可能异面，故①错误； ②根据平行公理的推论，若，，则，故②正确； ③过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故③错误； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，故④错误； 综上，正确的说法只有个． 【变式1-2】下面语句中，正确的是（   ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么． A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 【答案】A 【分析】根据平行线的定义，同一平面内直线的位置关系，逐一判断每个语句即可． 【详解】解：①平行线的定义为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，原语句缺少“同一平面内”的前提条件，故①错误． ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②正确． ③线段不相交不代表延伸后的直线一定不相交，无法推出直线和直线平行，故③错误． ④，，根据平行公理的推论可得，，故④正确． 综上，正确的是②和④． 题型二 对顶角的定义及其应用 【例1】下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角可知，选项C中的与是对顶角． 【变式2-1】如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 【变式2-2】若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 【答案】B 【分析】每两条直线相交于一点会产生2对对顶角，先计算10条直线中两两组合的数量，再乘以2即可得到对顶角总对数； 【详解】两条直线相交于一点，共产生2对对顶角， 10条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， 对顶角总对数． 题型三 同位角、内错角、同旁内角的应用 【例1】下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 【变式3-1】如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据同旁内角定义进行判断即可． 【详解】解：图中与构成同旁内角的角为，，，共个． 【变式3-2】如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 题型四 图形的平移及其应用 【例1】在边长为的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到平移前后两条“小鱼”的对应点平移的距离，就是“小鱼”平移的距离． 【详解】解：如下图所示， 点、是对应点，点平移个单位长度到点， “小鱼”平移的距离是． 【变式4-1】如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于_____． 【答案】 【分析】由平移的性质可得，则可推出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系是平行且相等 【分析】（1）根据平移方式确定各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可直接得出：与的关系是平行且相等． 题型五 平行线的性质及其应用 【例1】如图，已知直线，将一块含角的直角三角板图示的方式放置，顶点A在直线上，顶点C在直线上，过点C作的平分线交于点D，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平分，可得，则可得，再由，根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，证明，得到，再根据三角形外角定理得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为________． 【答案】 /度 【分析】由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两条对边互相平行，， ∴， ∴． 题型六 平行线的判定 【例1】如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三线八角的位置关系，判断各选项中的角是否为同旁内角或内错角，从而确定能否判定． 【详解】解：由图可知，被两条直线所截， 选项A:的对顶角与的对顶角是被直线所截所形成的同旁内角，由不能判定； 选项B:的对顶角与的对顶角是被直线所截所形成的同旁内角，由可得同旁内角互补，，符合题意 选项C:与不是被直线所截所形成同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定； 选项D:与不是被直线所截所形成同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定； 故选：B． 【变式6-1】如图，添加一个条件：___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加，可根据内错角相等，两直线平行，判断； 添加，可根据同位角相等，两直线平行，判断； 添加或，可根据同旁内角互补，两直线平行，判断． 【变式6-2】“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质，结合角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴. 题型七 垂线的应用 【例1】如图所示，，与交于点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】下列说法正确的是（   ） ①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③如果直线，那么； ④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④ D．①②⑤ 【答案】C 【详解】解：①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确； ②只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，原说法缺少前提条件，说法错误； ③根据平行线的传递性，若，，则，说法正确； ④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，说法正确； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原说法混淆了“垂线段”和“垂线段的长度”，说法错误. 综上，正确的说法是①③④. 【变式7-2】如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴　　　　． 【答案】同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 【分析】先由同位角相等证，再通过平行线性质和等量代换得到，最后由内错角相等证得． 【详解】解：证明：∵，（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴． 题型八 求平行线间的距离 【例1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 【变式8-1】两条平行线之间的距离处处______；从直线外一点到这条直线所画的线段中，______最短． 【答案】 相等 垂线段 【详解】两条平行线之间的距离处处相等，从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短. 【变式8-2】如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 基础巩固通关测 1．有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行线，平行公理的推论，两条直线的位置关系，逐一判断各说法，即可得到结果． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确，符合题意； ③一条直线的平行线有无数条，此说法正确，符合题意； ④与同一条直线相交的两条直线可能相交或平行，故原说法错误，不符合题意， 综上，正确说法为②③ 2．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，据此可得答案． 【详解】解：由对顶角的定义可得只有C选项中的与是对顶角． 3．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 4．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 5．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【答案】B 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 先确定与的边，找出截线和被截直线，再根据内错角的定义判断． 【详解】解：的两边为，的两边为，则： 截线：； 被截直线：； 这两个角在截线的两侧，且夹在与之间，符合内错角的定义， 因此，与是直线被直线所截形成的内错角． 故选：B． 6．玉壶春瓶是中国瓷器中经典的器形之一，相传语出北宋大文学家苏轼“玉壶先春、冰心可鉴”之句．在安徽博物院藏品中就有一件无论器形、纹饰和釉色都近乎完美的明龙泉窑玉壶春瓶．下列“明龙泉窑玉壶春瓶”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义求解即可． 【详解】解：可以由如图所示的图形只经过平移得到的是D选项中的图形． 7．某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____ 【答案】 【分析】由图形可知，利用平移法即可求解． 【详解】解：该公园种小草的部分可拼成一个长为，宽为的长方形， 则该公园小草的面积 ． 8．如图，已知、相交于点，则____________． 【答案】 【分析】由平行线的性质，得出，，，，即恰转换为一个周角，故可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 9．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握过拐点作平行线，利用内错角相等、同旁内角互补转化角度是解题的关键． 过点作辅助线平行于，利用平行线性质分别求出和，再由同旁内角互补求出． 【详解】解：如图，过点作，    则 ∴ 故答案为：． 10．如图，，下列推理正确的是_______（填编号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】②④/④② 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由，不能判定，故①不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 由，，不能判定，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，推理正确的是②④． 11．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2)14 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ∴； （2）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ，， 三角形的周长为10， ，即， 四边形的周长 ． 12．如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)图中与长度相等的线段有_________； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1)、 (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴； （2）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴， ∵， ∴， （3）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴，， ∴ 13．如图，，直线分别交、于点、，分别平分和．求的度数． 【答案】 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵分别平分和， ∴， ∴ ． 14．如图1，，点为边上一动点，连接，且． (1)求证：； (2)当点在的平分线上时，若，求的度数； (3)在点移动的过程中，当的长最小时，此时点恰好也在的平分线上，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质和补角的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义等知识进行解答即可； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ， 如图，过点作， ， ， ． ， ， ， ， ； （3）解：如图，当时，的长度最小， ， 由（1）可得 点恰好在的平分线上， ， ， ， ． 能力提升进阶练 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角．结合图形逐个选项判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、符合对顶角的定义，故本选项符合题意． 2．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可判断①②④，根据，可得，据此可判断③． 【详解】解：∵纸条的两边平行， ∴，，，故①②④正确， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴正确的有4个． 3．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样． 4．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 5．如图，下列条件中能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：如图， A、∵，， ∴，同旁内角相等，不能得到； B、∵， ∴，不能得到； C、∵， ∴； D、，不能得到． 6．在螳螂的示意图中，，，，则___________． 【答案】 【分析】作，根据平行线的性质和角度的和差求解即可． 【详解】解：作， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 7．如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 【答案】 【分析】根据对顶角定义进行求解即可． 【详解】解：的对顶角为． 8．如图，已知交的边于点，那么的内错角是____________． 【答案】 【分析】根据内错角定义进行求解即可． 【详解】解：的内错角是． 9．如图，直线与被直线所截得的内错角是________；直线与被直线所截得的内错角是________；图中的内错角是________． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 10．如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可； （）根据平移的性质找出点、的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，线段即所求； （2）解：如图，三角形即所求． 11．在如图所示的方格纸中，把四边形ABCD按箭头指示的方向平移，使点A移到点处． (1)请在方格纸中画出平移后的四边形； (2)连接、，与的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)平行 【分析】（1）先确定点A到的平移方向和距离，再将点B、C、D按此方向和距离平移得到对应点、、，最后顺次连接各对应点得到平移后的四边形． （2）根据平移的性质，平移后对应点的连线平行且相等，所以可判断与的位置关系． 【详解】（1）四边形如图所示； （2）平行． 12．理由依据填空：如图，直线、被直线所截，交点分别为A．C，平分，平分，若，求证：． 证明： （________） ∵平分，平分 ，（________） （________） （________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线定义；等式的基本性质；同位角相等，两直线平行 【分析】利用平行线的判定与性质，结合题干思路和角平分线的定义完成解答过程即可． 【详解】证明： （两直线平行，同位角相等） ∵平分，平分 ，（角平分线定义） （等式的基本性质） （同位角相等，两直线平行）． 13．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析，（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $