向量、解三角形基础运算测试题 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

永年二中高一数学必修二——解三角形基础运算测试题03（回归教材版） 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于(　　) A.(3,2) B C.(-3,-2) D 2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,c=2,cos A=,则b等于(　　) A B C.2 D.3 4.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=2+2,则△ABC中最小的边长为(　　) A.2 B.4 C D 5、人教A版2019年数学必修二第六章习题6.4第15题改编：的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，则（ ） A． B． C． D． 6．人教A版2019年数学必修二第六章习题6.4第15题改编：的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 7．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第21题改编：已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第21题：已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第24题改编：如图，在中，关于的值，以下说法正确的是（    ） A．当半径为定值，弦越长，的值就越大 B．当弦长度为定值，半径越大，的值就越大 C．的值与弦的长度无关 D．的值与半径的大小无关 10.人教A版2019年数学必修二第6.4.3.3例9改编：如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则(　　) A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向 B.当天10:00时,该船距离观测点C km C.当船行驶至B处时,该船距观测点C km D.该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是　　　　　.  12．在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A等于　　　.  13.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15 min时,两船的距离是　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14、苏教版2019年数学必修二P87页例3：用余弦定理证明： 在中，当为锐角时，；当为钝角时，． 15、在中，已知，，，解这个三角形. 16.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值. 17．人教A版2019年数学必修二第六章习题6.4第15题改编：在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点）， （1）若是高，求的长； （2）若是中线，求的长； （3）若是角平分线，求的长； 18. 人教B版2019年数学必修四P20页第5题：已知的周长为， 且. (1)求的长；(2)若的面积为，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二——向量、解三角形基础运算测试题03 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于(　　) A.(3,2) B C.(-3,-2) D 【答案】C 【解析】=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),(-9,-6)=(-3,-2). 2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】B 【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B. 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,c=2,cos A=,则b等于(　　) A B C.2 D.3 【答案】D 【解析】(方法一)由cos A=,且A∈(0,π),得sin A=,由正弦定理得sin C= 由a>c,得A>C,则cos C=∵B=π-(A+C),∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=1,∴b=3. (方法二)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得()2=b2+22-2b·2,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),即b=3. 4.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=2+2,则△ABC中最小的边长为(　　) A.2 B.4 C D 【答案】B 【解析】∵C=180°-A-B=45°,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,由正弦定理得, ∴c==4. 5、人教A版2019年数学必修二第六章习题6.4第15题改编：的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，所以， 所以， 6．人教A版2019年数学必修二第六章习题6.4第15题改编：的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可. 【详解】由题意，，则， 则，则，即.故选：A. 7．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第21题改编：已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可知是中点，再结合即投影向量的概念可得. 【详解】  ，是中点，又，所以，则向量在向量上的投影向量为. 8．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第21题：已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为，所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为：．故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．人教A版2019年数学必修二习题6.2P24页第24题改编：如图，在中，关于的值，以下说法正确的是（    ） A．当半径为定值，弦越长，的值就越大 B．当弦长度为定值，半径越大，的值就越大 C．的值与弦的长度无关 D．的值与半径的大小无关 【答案】AD 【分析】由圆中的垂径定理结合数量积的计算即可得，结合选项即可求解答案. 【详解】设的半径为，的长度为，取的中点，连接， 则在中， ∴只与弦的长度有关， 且弦越长，的值越大，与半径无关.故选:AD. 10.人教A版2019年数学必修二第6.4.3.3例9改编：如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则(　　) A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向 B.当天10:00时,该船距离观测点C km C.当船行驶至B处时,该船距观测点C km D.该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km 【答案】ABD 【解析】A项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确.B项中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,则∠CAD=45°,由正弦定理,得AC=(km),故B正确.C项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60° =90°,即∠CBD=45°,则BD=CD=2,于是BC=2 km,故C不正确.D项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+8-2××2=6,即AB= km,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是　　　　　.  【答案】 【解析】因为b=(12,5),所以与b方向相同的单位向量e=,设向量a,b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cos θe=e=3e= 12．在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A等于　　　.  【答案】 【解析】如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,由题意得BD=AD=BC,故CD=BC,AB=BC,AC=BC, 由余弦定理的推论,得cos∠BAC== 13.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15 min时,两船的距离是　　　.  【答案】 【解析】设当行驶15 min时,甲船行驶到M处,乙船行驶到N处.如图, 由题意知AM=8=2,BN=12=3,MB=AB-AM=3-2=1, 由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos 120°=1+9-2×1×3=13,故MN= km. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14、苏教版2019年数学必修二P87页例3：用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，． 证明：在中，若为锐角，则，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即； 在中，若为钝角，则，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即． 15、在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理，得.因为，，所以.于是，或. （1）当时，. 此时. （1）当时，. 此时. 16.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值. 【答案】 【详解】（,∴3=2,即2-2, ∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示. ∵A,M,Q三点共线,∴设=x+(1-x)+(x-1), ,又,且=t, =t,解得t= 17．人教A版2019年数学必修二第六章习题6.4第15题改编：在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点）， （1）若是高，求的长； （2）若是中线，求的长； （3）若是角平分线，求的长； 【答案】 【详解】因为，，，所以，所以， （1）若是高，则； （2）由已知得，若是中线，则，,，所以； （3）由（2）可得，因为，所以, 整理可得，即. 18．人教B版2019年数学必修四P20页第5题：已知的周长为，且. (1)求的长；(2)若的面积为，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理知，，， 的周长为，，． （2） 的面积，，由（1）知，，， 由余弦定理知，，． 学科网（北京）股份有限公司 $