6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章【计数原理】 第1课时 高中数学人教A版选择性必修第三册 B 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义，理解两个计数原理的区别与联系. 2.能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析并解决一些简单的实际问题. 3.通过对两个计数原理的学习，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 学习目标 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？ 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 创设情境 探索分类加法计数原理 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 完成一件什么事 有什么要求 怎么完成这件事 给一个座位编号 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字 方案1：用英文字母编号 26 方案2：用阿拉伯数字编号 10 26+10=36 列举法： A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,LM,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 探究新知 1.你能说一说这个问题的特征吗？ 要求：先独立思考，再交流讨论. 这是完成这件事有几类不同的办法的问题， 每类办法都能独立完成事情，并且每种方法也相互独立. 你能举出一些生活中类似的例子吗？ 探索分类加法计数原理 如：食堂备有15种不同的素菜、9种不同的荤菜.若只吃一样，有多少种选择？ 从A市到B市，一天中，飞机有4个班次，火车有3个班次，那么一天中乘坐这些交通工具从A市到B市有多少种不同的方法？ 探究新知 一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法. 分类加法计数原理 探索分类加法计数原理 两类不同方案中的方法互不相同！ 探究新知 如果完成一件事有n类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 探索分类加法计数原理 探究新知 探索分步乘法计数原理 完成一件什么事情 有什么要求 怎么完成这件事 给一个座位编号 用一个大写的英文字母和一个阿拉伯数字 第1步：用英文字母编号 6 第2步：用阿拉伯数字编号 9 N=6×9=54 探究新知 法一：列举法：将编号一个一个列举出来，注意顺序，注意不要遗漏 法二：树状图 与字母A对应的编号有9种 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 探索分步乘法计数原理 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9种 能用树状图列出所有可能的号码吗？ …… 探究新知 探索分步乘法计数原理 也可以这样思考： 由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码. 探究新知 你能说一说这个问题的特征吗？ 这是完成这件事情需要几个步骤才能完成的问题，每一步不能独立完成事件，只有各个步骤都完成才算完成这件事情. 探索分步乘法计数原理 要求：先独立思考，再交流讨论. 你能举出一些生活中类似的例子吗？ 如：食堂备有15种不同的素菜、9种不同的荤菜.若选一荤一素，有多少种选择？ 从A市到B市需从C市中转，从A市到C市有4条路线，从C市到B市有3条路线，那么从A市到B市有多少种不同的方法？ 探究新知 分步乘法计数原理 一般地，如果完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 探索分步乘法计数原理 注意：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数，又称乘法原理. 探究新知 如果完成一件事需要n个步骤，在每一步中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 探索分步乘法计数原理 探究新知 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1. 教材 原题 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 完成一件什么事 有什么要求 怎么完成这件事 选一个专业 两所大学中的一所大学里选一个专业 方案1：在A大学强项专业里选 5 方案2：在B大学强项专业里选 4 N=5+4=9 应用举例 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1. 教材 原题 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所； 在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以分步加法计数原理这名同学可能的专业选择种数为N=5+4=9. 应用举例 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有问题吗？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 数学 解： 这种算法有问题. 因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考虑学校的差异， 所以，这名同学可能的专业选择种数应当为N=6+4-1=9（种）. 应用举例 应用举例 2.利用分类加法计数原理解题的一般思路： 分类 计数 结论 将完成一件事的办法分成若干类 求出每一类中的方法数 将每一类中的方法数相加得最终结果 注意：1.确定分类标准时要确保每一类都能独力的完成这件事 2.两类不同方案中的方法互不相同 应用举例 教材 原题 完成一件什么事情 有什么要求 怎么完成这件事 解：任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成： 第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24=720. 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 选两名班级代表 1名男生和1名女生 第1步：从男生中选1名 30 第2步：从女生中选1名 24 N=30×24=720 应用举例 某班有男生30名、女生24名,从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，该班有10名任课老师，若要从中增派1名老师作为领队，共有多少种不同的选法？ 完成一件什么事情 有什么要求 怎么完成这件事 选两名班级代表和一名带队老师 1名男生1名女生和1名老师 第1步：从男生中选1名 30 第2步：从女生中选1名 24 第3步：从老师中选1名 10 N=30×24×10=7200 解：可以分三个步骤完成： 第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法； 第3步，从10名老师中选出1名，有10种不同选法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24×10=7200. 应用举例 1.应用分步乘法计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步. (2)根据题意正确分步,要求各步之间必须关联,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏. 2.应用分步乘法计数原理解题的一般思路 分步 计数 结论 将完成一件事的过程分成若干步 求出每一步中的方法数 将每一步中的方法数相乘得最终结果 确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事 应用举例 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. 教材 原题 （1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分第1层、第2层和第3层中取三类方案；（分类加法） （2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法） 分别是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分类还是过程的分步？ （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ 应用举例 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. 教材 原题 （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ 解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N=4+3+2=9. 应用举例 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. 教材 原题 （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ 解：（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N=4×3×2=24. 应用举例 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是将较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 应用举例 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 1.解答计数问题的一般思路 完成一件什么事 有什么要求 怎么完成这件事 方法的分类 利用加法计数原理进行计数 过程的分步 利用乘法计数原理进行计数 归纳总结 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 2.两个原理的异同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 区别 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只能依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 注意 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 归纳总结 $