6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，通过甲、乙公司代表出行实例导入，结合思考问题区分分类与分步情境，搭建从具体案例到抽象原理的学习支架，帮助学生理解原理内涵及应用场景。 其亮点在于以现实问题（如算盘拨珠、献血选法）为载体，引导学生用数学眼光观察生活中的计数问题，通过分步解题流程培养逻辑推理的数学思维，结合变式训练强化原理应用，助力学生用数学语言表达实际问题，提升解决问题能力，也为教师提供清晰的教学路径和丰富的实例资源。

第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．　2.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．　3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 甲公司代表从济南前往北京参加会议，有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁．假如飞机有3个航班可选，高铁有4个班次可选．那么该代表从济南到北京共可以选择多少种快捷途径？乙公司代表从济南前往北京，但必须先去青岛调研，再从青岛去北京，已知从济南到青岛每天有7个航班，从青岛到北京每天有6趟高铁． 新知学习 探究 返回导航 思考1　甲公司代表与乙公司代表完成从济南到北京这件事，是分类还是分步？ 提示：甲公司代表是分类，乙公司代表是分步． 思考2　甲公司代表从济南到北京共有多少种不同的快捷途径？ 提示：共有3＋4＝7(种). 思考3　乙公司代表从济南到北京共有多少种不同的快捷途径？ 提示：共有7×6＝42(种). 新知学习 探究 返回导航 一　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法． N＝m＋n 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为(　　)  A．8 B．10 C．15 D．16 √ 新知学习 探究 返回导航 解析：拨动题图1算盘中的两枚算珠，有两类方法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8. 新知学习 探究 返回导航 2．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种． 解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案： 第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法； 第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法． 由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种). 8 新知学习 探究 返回导航 3．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成________个不同的真分数． 解析：由真分数的定义知，真分数的分母大于分子，且均为正整数， 若1为分子，分母有4种选择； 若5为分子，分母有3种选择； 若9为分子，分母有2种选择； 若13为分子，分母有1种选择， 且没有重复的分数，所以不同的真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个).　 10 新知学习 探究 返回导航 利用分类加法计数原理解题的注意点及解题流程 (1)完成一件事有n种不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，分类要做到“不重不漏”． 新知学习 探究 返回导航 (3)利用分类加法计数原理计数时的解题流程： 新知学习 探究 返回导航 二　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法． N＝m×n 新知学习 探究 返回导航 　 已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)在平面直角坐标系内，且a，b∈M. (1)平面上共有多少个点P? 【解】　第一步，先安排横坐标a，a∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以a有6种选择；第二步，安排纵坐标b，b∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以b有6种选择，所以一共有6×6＝36个满足条件的点P. 新知学习 探究 返回导航 (2)有多少个点P在第二象限内？ 【解】　P(a，b)在第二象限内，则a<0，b>0，故a可从－3，－2，－1这3个数字中选择1个，有3种选择，b可从1，2这2个数字中选择1个，有2种选择，故总共有3×2＝6个满足条件的点P. 新知学习 探究 返回导航 √ 【变式探究】 1．(设问变式)若本例条件不变，在圆x2＋y2＝5上的点的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：由于a，b∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}且P(a，b)在圆上，即a2＋b2＝5.所以a∈{－2，2}时，b∈{－1，1}，a∈{－1，1}时，b∈{－2，2}． 因此圆上的点的个数为2×2＋2×2＝8.故选D． 新知学习 探究 返回导航 2．(设问变式)若本例条件不变，有多少个点P不在直线y＝x上？ 解：在直线y＝x上的点满足a＝b，此时(a，b)可以为(－3，－3)，(－2，－2)，(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，(2，2)共6个，所以不在直线y＝x上的点有36－6＝30(个). 新知学习 探究 返回导航 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题流程 (1)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． (2)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． 新知学习 探究 返回导航 (3)利用分步乘法计数原理解题的解题流程： 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 甲、乙、丙、丁4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛． (1)每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ 解：4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，可分4步完成，每一步有一名学生选报，有3种选法，故共有3×3×3×3＝34＝81种不同的报名方法． (2)若这4名学生争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ 解：4名学生争夺数学、物理、化学竞赛冠军，每项冠军都被4名同学中的其中一名获得，故有4种可能，因此共有4×4×4＝43＝64种不同的结果． 新知学习 探究 返回导航 三　两个计数原理的简单应用 　　　(对接教材例3)某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ 【解】　分四类： 从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法． 任选1人去献血，用分类加法计数原理，得28＋7＋9＋3＝47种不同的选法． 新知学习 探究 返回导航 (2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 【解】　分四步： 要从4种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，“各选1人去献血”的事情才算完成，所以用分步乘法计数原理，得28×7×9×3＝5 292种不同的选法． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (综合变式)本例变为：在身体检查合格的人中任选2人去献血，血型不同的选法有多少种？ 解：先分6类，每类再分2步： 第1类选O型与A型，有28×7＝196种选法；第2类选O型与B型，有28×9＝252种选法；第3类选O型与AB型，有28×3＝84种选法；第4类选A型与B型，有7×9＝63种选法；第5类选A型与AB型，有7×3＝21种选法；第6类选B型与AB型，有9×3＝27种选法．所以任选2人去献血，血型不同的选法共有196＋252＋84＋63＋21＋27＝643(种). 新知学习 探究 返回导航 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏． (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以画出恰当的示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人． (1)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？ 解：三个年级分别有10种，8种，7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，共有10×8×7＝560种不同的选法． 新知学习 探究 返回导航 (2)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？ 解：选法可分三类：第一类是1人选自高一，1人选自高二，有10×8＝80种选法； 第二类是1人选自高一，1人选自高三，有10×7＝70种选法； 第三类是1人选自高二，1人选自高三，有8×7＝56种选法，所以共有80＋70＋56＝206种不同的选法． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 √ 1．(教材P5T1(2)改编)若某座山从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山不同的走法共有(　　) A．5种 B．6种 C．20种 D．25种 解析：依题意，游客上山有5种走法，下山有5种走法，由分步乘法计数原理知，从上山到下山不同的走法共有5×5＝25(种).故选D． 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．(多选)现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是(　　) A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，所以A选项正确； 对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，所以B选项正确； 对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，所以C选项错误； 对于D，若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，所以D选项正确．故选ABD． 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材P11T6改编)已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线． 解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线． 22 课堂巩固 自测 返回导航 4．某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，信箱中为观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽取信封确定幸运之星和幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？ 解：①若幸运之星在甲箱中抽取，则有30×29×20＝17 400种不同的结果；②若幸运之星在乙箱中抽取，则有20×19×30＝11 400种不同的结果．故共有17 400＋11 400＝28 800种不同结果． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：两个计数原理和两个计数原理的简单应用． 2．须贯通：用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否独立完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性． 3．应注意：要明确“分类”与“分步”的标准,避免计数的重复或遗漏． 课堂巩固 自测 返回导航 $