2.1 两条直线的位置关系讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1 两条直线的位置关系 一、教材知识全解 知识点一　相交线与平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 如图，直线与直线平行，记作：． 如图，直线与直线相交于点． 例 1 .下列说法不正确的有（   ）． ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条不相交的直线的位置关系为平行； ③在同一平面内，如果延长线段后与射线不相交，那么这条线段与这条射线所在直线互相平行； ④如果两条直线不相交，那么这两条直线一定平行． A.个 B.个． C.个 D.个 【答案】 C ①中缺少”在同一平面内”这一条件，所以不正确； ②是正确的； ③不正确，因为对线段只是向一方延长，而对射线没作反向延长，所以即使没有交点，这条线段与这条射线所在直线也不一定互相平行； ④中缺少”在同一平面内”这一条件，所以不正确． 故选． 点拨 　平行线有三个特征：一是在同一平面内；二是不相交；三是都是直线．三者缺一不可． 知识点二　对顶角 定义：两直线相交所形成的四个角中，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角．如图，与是对顶角，与也是对顶角． 性质：对顶角相等． 例 2 .下列各图中，和是对顶角的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 根据对顶角的定义故选． 知识点三　余角和补角 1．如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角． 2．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角． 3．余角、补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 注意 　（1）互余、互补都是指两个角之间的关系．当时，不能说、、互余；当时，也不能说、、互补．（2）互余的两个角都是锐角，而互补的两个角可能是一个锐角一个钝角，也可能都是直角．（3）互余和互补都是反映两个角的数量关系，而不是位置关系． 例 3 .一个角的余角等于这个角的补角的，求这个角． 【答案】 这个角为． 设这个角为，依题意得，解得． 知识点四　垂线 1．垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 注意 　（1）两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况； （2）遇到线段、射线的垂直问题，都指的是它们所在的直线互相垂直． 2．垂线的画法 过一点画已知直线的垂线有三种方法： （1）用三角板画垂线． （2）用量角器画垂线． （3）借助网格纸画垂线． 3．垂线的性质 （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．如图所示，点分别为直线外和直线上一点，过点有且只有一条直线． 注意 　①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条． ②必须强调“平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称：垂线段最短． 4．点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离．如图所示，线段的长度叫做点到直线的距离． 注意 　（1）垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度． （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度，在实际问题中要应用其“最近性”解决问题． 例 4 .在下列所示的各图中，分别过点作的垂线． ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 【答案】 (1)画图见解析． (2)画图见解析． (3)画图见解析． (4)画图见解析． (1)如图所示： (2)如图所示： (3)如图所示： (4)如图所示： 点拨 　画已知直线的垂线，一定要搞清楚是过哪一点向哪一条直线画垂线． 二、经典例题全解 题型一　利用对顶角和互补的角的性质解决问题 例 5 .如图所示，三条直线，，相交于点，，，求的度数． 【答案】 ． 由题意知 （补角定义）， ，所以 （等量代换）， 解得． 所以 （对顶角相等）． 所以． 点拨 　除了互补的两个角和为外，由平角的定义也可以得到和为． 题型二　垂线性质在生活中的应用 例 6 .如图所示，平原上有，，，四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． ( 1 )不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄距离之和最小． ( 2 )计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠使水渠最短？并说明理由． 【答案】 (1)画图见解析． (2)画图见解析，证明见解析． (1) 两点之间，线段最短，如图所示，连接，交于， 则为蓄水池的位置，它到四个村庄距离之和最小． (2)过作，垂足为，沿开渠，水渠最短，依据是“垂线段最短”． 点拨 　第（1）小题的解题依据是“两点之间，线段最短”，属于线段的性质；第（2）小题的解题依据是“垂线段最短”，属于垂线的性质． 三、教材练习答案 随堂练习（） ；根据对顶角相等． 习题（） 知识技能 1．，． 数学理解 2．不可以都是锐角，可以都是直角，不可以都是钝角． 问题解决 3．． 4．或． 联系拓广 5．与不是对顶角． 随堂练习（） 1．如图． ，． 2．（1），； （2），，，，，，，，． 习题（） 知识技能 1．略． 2．互相平行：东二环、东三环、东四环；东直门外大街与建国门外大街； 互相垂直：东二环、东三环、东四环都分别垂直于东直门外大街和建国门外大街． 问题解决 3．如图．． 从点开沟，才能使沟最短． 理由：垂线段最短． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1 两条直线的位置关系 一、教材知识全解 知识点一　相交线与平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 如图，直线与直线平行，记作：． 如图，直线与直线相交于点． 例 1 .下列说法不正确的有（   ）． ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条不相交的直线的位置关系为平行； ③在同一平面内，如果延长线段后与射线不相交，那么这条线段与这条射线所在直线互相平行； ④如果两条直线不相交，那么这两条直线一定平行． A.个 B.个． C.个 D.个 点拨 　平行线有三个特征：一是在同一平面内；二是不相交；三是都是直线．三者缺一不可． 知识点二　对顶角 定义：两直线相交所形成的四个角中，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角．如图，与是对顶角，与也是对顶角． 性质：对顶角相等． 例 2 .下列各图中，和是对顶角的是（   ）． A. B. C. D. 知识点三　余角和补角 1．如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角． 2．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角． 3．余角、补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 注意 　（1）互余、互补都是指两个角之间的关系．当时，不能说、、互余；当时，也不能说、、互补．（2）互余的两个角都是锐角，而互补的两个角可能是一个锐角一个钝角，也可能都是直角．（3）互余和互补都是反映两个角的数量关系，而不是位置关系． 例 3 .一个角的余角等于这个角的补角的，求这个角． 知识点四　垂线 1．垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 注意 　（1）两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况； （2）遇到线段、射线的垂直问题，都指的是它们所在的直线互相垂直． 2．垂线的画法 过一点画已知直线的垂线有三种方法： （1）用三角板画垂线． （2）用量角器画垂线． （3）借助网格纸画垂线． 3．垂线的性质 （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．如图所示，点分别为直线外和直线上一点，过点有且只有一条直线． 注意 　①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条． ②必须强调“平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称：垂线段最短． 4．点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离．如图所示，线段的长度叫做点到直线的距离． 注意 　（1）垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度． （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度，在实际问题中要应用其“最近性”解决问题． 例 4 .在下列所示的各图中，分别过点作的垂线． ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 点拨 　画已知直线的垂线，一定要搞清楚是过哪一点向哪一条直线画垂线． 二、经典例题全解 题型一　利用对顶角和互补的角的性质解决问题 例 5 .如图所示，三条直线，，相交于点，，，求的度数． 点拨 　除了互补的两个角和为外，由平角的定义也可以得到和为． 题型二　垂线性质在生活中的应用 例 6 .如图所示，平原上有，，，四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． ( 1 )不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄距离之和最小． ( 2 )计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠使水渠最短？并说明理由． 点拨 　第（1）小题的解题依据是“两点之间，线段最短”，属于线段的性质；第（2）小题的解题依据是“垂线段最短”，属于垂线的性质． 三、教材练习答案 随堂练习（） ；根据对顶角相等． 习题（） 知识技能 1．，． 数学理解 2．不可以都是锐角，可以都是直角，不可以都是钝角． 问题解决 3．． 4．或． 联系拓广 5．与不是对顶角． 随堂练习（） 1．如图． ，． 2．（1），； （2），，，，，，，，． 习题（） 知识技能 1．略． 2．互相平行：东二环、东三环、东四环；东直门外大街与建国门外大街； 互相垂直：东二环、东三环、东四环都分别垂直于东直门外大街和建国门外大街． 问题解决 3．如图．． 从点开沟，才能使沟最短． 理由：垂线段最短． 学科网（北京）股份有限公司 $