6.2.4组合数 第1课时 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.2.4组合数   一、教学目标 1.通过具体的例子，让学生理解组合数的含义； 2. 掌握组合数的计算公式，并能够运用该公式进行计算； 3. 通过实际问题，让学生运用组合数的知识进行求解； 4. 通过组合数的计算和应用，培养学生分析问题和解决问题的逻辑思维能力； 5. 通过组合数的学习，提高学生的数学素养，使学生能够更好地理解和运用数学知识，为后续的数学学习打下坚实的基础  二、教学重难点 重点：通过学习组合数的定义、计算公式和实际应用，使学生能够理解和运用组合数解决实际问题. 难点：理解和运用组合数的计算公式．   三、教学过程 （一）创设情境 回顾： 1.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关. 3.排列数的定义 我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 4.排列数公式 特别地，全排列. 规定： 设计意图：通过具体的排列问题与组合问题情境对比，在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念作认知准备 （二）探究新知 任务1：探索组合数的概念 探究：你能类比排列数的概念，说出组合数的概念吗？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.选派学生代表进行展示汇报. 我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 取出元素的个数 元素总数 组合的英文首字母 如：从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为. 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为. 设计意图：结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念做对比，引入组合数定义. 任务2：探索组合数公式 探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢? 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系.那它们之间的数量关系是怎样的？ 要求：小组交流后，进行展示汇报 回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？ 组合 甲乙 甲丙 乙丙 排列 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 应用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 设这4个元素为a,b,c,d,那么从中取出3个元素的排列数. 以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组 组合 排列 a,b,c abc bac cab acb bca cba a,b,d abd bad dab adb bda dba a,c,d acd cad dac adc cda dca b,c,d bcd cbd dbc bdc cdb dcb 因此组合数. 思考：我们该怎样安排才能和组合联系在一起？ 观察上图，也可以这样理解： 第1步：从4个元素中取出3个元素作为一组，有种不同的取法； 第2步：将取出的3个元素做全排列，有种不同的取法. 根据分步乘法计数原理有,化简后得. 思考：你能类比“从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的排列数”描述“从n个元素中取出m个元素的排列数”吗？ 第1步：从n个不同元素中取出m个元素作为一组，有种不同的组合； 第2步：将取出的m个元素作全排列，有种不同的排列； 于是，根据分步乘法计数原理有=∙. 所以， 总结： 组合数公式 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 因为,所以上面的公式还可以写成 另外，我们规定. 设计意图：利用排列数求出组合数，由具体推广到一般，用同样的方法得到组合数的公式，发展逻辑推理的核心素养. （三）应用举例 例1 计算：（1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）； （2）； （3）; （4）. 思考：观察例1的(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现与猜想？ 猜想： 证明：， 所以. 我们把这个结论称为组合数的性质. 思考：你能尝试解释这个组合数的性质吗？ 从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下（n-m）个元素，因此，从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出（n-m）个元素的方法是一一对应的.即从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合数.也就是. 师生活动：数字较小因数不多时，用公式一直接计算比较方便；当运算中因数多数字大，用性质可以减少繁琐的表达，运用时宜先观察能否化简，然后再计算，减少计算量，也可以利用信息技术手段计算；在含有字母的组合数证明中，用性质化简或推理比较方便. 例2：计算：（1）； （2）； （3） 解：（1）； （2）； （3）. 思考：你有什么发现和猜想？ 猜想： 证明： 思考：你能尝试解释这个组合数的性质吗？ 答：该性质可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能. 如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有种取法;如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得. 设计意图：通过例1及练习，让学生熟悉组合数公式的结构特征；利用思考，加深对公式的理解，自然得到组合数的重要性质，促进学生养成善于观察、思考、推理的习惯. 总结：组合数公式的选取 (1)组合数公式： 一般用于计算，而组合数公式，一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件m≤n，且；组合数的性质. 例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件． （1）有多少种不同的抽法? （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题； （2） 可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题； （3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为. （2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为. （3）(直接法)：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 . (间接法)：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 . 师生活动：学生思考然后展示，教师引导，得到解决组合问题的一般方法：首先明确“完成一件什么事”，即确定是一个满足什么条件的组合问题；其次，进一步分析用什么方法完成，是否需要分步或分类完成；再次，对每类各个击破，对每步细致分析，并用组合数符号表达出来；最后，根据两个计数原理和组合数公式计算结果.这种方法可以迁移到本章的其他计数问题中去. 设计意图：通过对例2的分析与解决，引导学生得到解决组合问题的一般方法，意识到大部分排列与组合问题可以归结为分类和分步两类问题，最终解决问题的“根本大法”是两个计数原理，从而提高对排列与组合问题的认识. 例4 某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有种选法，所以共有(种)抽调方法． (2)方法一(直接法)　按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有种选法；②选3名外科专家，共有种选法； ③选4名外科专家，共有种选法． 所以至少有2名外科专家的抽调方法共有++=185（种）. (2)方法二(间接法)　没有外科专家的抽调方法有种，有1名外科专家的抽调方法有种，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有－－＝185(种). (3)至多有2名外科专家的抽调方法有＋＋＝115(种). 师生活动：学生运用解决组合问题的一般思路，抓住问题中的关键条件进行思考解答，教师适当指导. 设计意图：通过例题，进一步让学生熟悉解决组合问题的一般方法，提高学生分析和解决组合问题的能力． 总结：有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 例5 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？ 解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任意一个，将小球一个一个放入盒子，共有(种)放法． (2)这是全排列问题，共有(种)放法． (3)1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有(种)放法． (4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有(种)放法． (5)(隔板法)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有(种)放法． 师生活动：教师引导学生完成. 设计意图： 通过例4掌握分组分配问题的解法. 总结：分组与分配问题的解法 (1)分组问题属于组合问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于排列问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． （四）课堂练习 1.对于关于下列排列组合数，结论正确的是(    ) A. B. C. D. 解：，所以A正确 ，所以B正确 ，所以C正确 ，故D错误． 2.登山运动员人，平均分为两组，其中熟悉道路的有人，每组都需要人，那么不同的分配方法种数是(    ) A. B. C. D. 解：先将个熟悉道路的人平均分成两组，有种， 再将余下的人平均分成两组，有种， 然后这四个组自由搭配还有 种， 故最终分配方法有种． 故答案为：． 3.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 解：由题意，数学、语文不能同时安排在下午， 若数学连堂安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种， 再把余下的三科与语文连堂安排在上午，把上午看作四节课，则有种， 此时共有种； 若语文连堂安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种， 再把余下的三科与数学连堂安排在上午，且数学不排上午的第一节课， 把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有种，其余三科全排有种， 此时共有种； 若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有种，将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有种， 再把余下的三科安排在下午作全排有种， 此时共有种； 综上，共有种 故选： 4.甲、乙两人从门课程中各选门，求： 甲、乙所选的课程中恰有门相同的选法有多少种？ 甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？ 解：甲或乙中一人先选，方法有，另一人再选，有种，则选法种数共有种． 甲、乙两人从门课程中各选两门不同的选法种数为， 又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为种， 因此满足条件的不同选法种数为种．  5.按下列条件，从人中选出人，有多少种不同选法？ 甲、乙、丙三人必须当选；        甲、乙、丙三人不能当选； 甲必须当选，乙、丙不能当选；    甲、乙、丙三人只有一人当选； 甲、乙、丙三人至多人当选；    甲、乙、丙三人至少人当选； 解：甲、乙、丙三人必须当选，再从剩下的人选人，故有种； 甲、乙、丙不能当选，再从剩下的人选人，故有种； 甲必须当选，乙、丙不能当选，再从剩下的人选人，故有种； 甲、乙、丙只有一人当选，再从剩下的人选人，故有种； 甲、乙、丙三人至多人当选，利用间接法，从人中选出人，再排除甲、乙、丙三人必须当选，故有种； 甲、乙、丙至少人当选，利用间接法，从人中选出人，再排除甲、乙、丙不能当选，故有种  设计意图：通过课堂练习，让学生反复运用组合数解决问题，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法？ 设计意图：回顾整节课的内容，帮助学生理清思路，形成知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $