精品解析：辽宁大连市第二十四中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

大连市第二十四中学2026年高三第一次模拟考试 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，边上的高等于，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 6. 已知数列A：，，…，，，，设，若或2，则满足条件的不同数列的个数为（ ） A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 7. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作l的平行线交x轴于点N，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 存在实数a，使圆O关于直线l对称 C. 对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点 D. 直线l被圆O所截弦长最小值为2 10. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点 D. 若时，的值域为，则t的取值范围为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点P，Q，下列说法正确的有（ ） A. 当点C为线段的中点时，直线l的斜率为 B. 若，则 C. （O为坐标原点） D. 若直线l的斜率为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80； 乙组：17，22，32，43，45，49，b，56． 若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________． 13. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，当时，的最小值为． （1）求函数在区间内的零点个数； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 16. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，，，，E，F分别是线段，的中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，①求的长；②求与平面所成角的正弦值． 17. 2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统G内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立． （1）当时，记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X，回答以下问题： ①若，求X的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性．为改善时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统G的可靠性？请给出你的结论并证明． （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 45 10 55 地面实验室 30 15 45 合计 75 25 100 请根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）若函数在区间内有一个零点，求实数a的取值范围； （2）若，使得对恒成立，求实数b的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二十四中学2026年高三第一次模拟考试 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到集合，结合交集的运算即可求解. 【详解】解不等式，即解得或 即，则. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过复数除法化简求出，再根据共轭复数的定义得到 【详解】由题意得， 则. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算模长公式得出参数的值又应用向量平行时求出的值，再结合充分条件与必要条件的概念进行判断即可得结论. 【详解】向量， 若，则，解得或； 若可得，解得； 所以时，可得；时，不能推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 4. 在中，边上的高等于，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设边上的高为，为垂足，即可得到，设，即可求出，，，再由余弦定理计算可得. 【详解】设边上的高为，为垂足，所以， 因为，所以，所以， 设,那么,. 由勾股定理，， 又， 由余弦定理可知. 故选：C 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 【答案】A 【解析】 【分析】通过对数变换将递推式转化为线性递推，发现是公比为2的等比数列，进而可求其前6项和. 【详解】由题意得，两边同时取对数得 ， 设，且有， ， ，，则， 满足，所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 即，. 6. 已知数列A：，，…，，，，设，若或2，则满足条件的不同数列的个数为（ ） A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】由于可以等于1或2，首先要确定7个差值中有几个1和几个2，再用组合数算出结果. 【详解】，设差值中有个1和个2， 则，解得：，. 3个1和4个2进行排序，一共有. 7. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作l的平行线交x轴于点N，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出抛物线的切线，设出直线的方程与抛物线的方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】抛物线焦点的坐标为， 由题意可知如果直线存在斜率，显然不为零， 所以设直线的方程为， 于是有， 设，可得， 由韦达定理得， 即， 因为抛物线对称轴为横轴，所以不妨设， 当时，由， 所以该抛物线在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，令，得，即， 由题意可知直线的斜率也为， 所以直线的方程为， 令，得，即， 故， 可得当时，有最小值. 8. 已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知是的一个零点，当时，转化为两个函数的交点问题，作出函数图象分类讨论即可得解. 【详解】易知，当时，，所以是的一个零点. 所以时，有3个零点，即有3个根， 即和的图象有3个交点． 设，，则和的图象有3个交点． 当时，和的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去． 函数恒过定点且对称轴为，作出和的大致图象， 当，若与的图象相切，， 设切点，则，解得． 和的图象有3个交点，则． 当，时满足题意，解得， 综上所述，． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 存在实数a，使圆O关于直线l对称 C. 对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点 D. 直线l被圆O所截弦长最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：整理直线方程求定点，对于B：判断直线是否过圆心，代入圆心后等式恒不成立；对于C：计算定点到圆心距离小于半径，确定直线与圆恒相交；对于D：利用弦长公式，结合定点与圆心连线垂直时最大，即可算出弦长最小值. 【详解】对于A，整理直线方程为，， 则，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，易得圆心为，若圆O关于直线l对称，则l过圆心， 将代入到得，恒不成立，故B错误； 对于C，易得半径，圆心到定点的距离， 所以定点在圆内，直线与圆有两个不同的公共点，故C正确； 对于D，当直线l与定点和圆心的连线垂直时，直线l被圆O所截弦长最小， 设定点到圆心的距离为，此时， 则弦长为，故D正确. 10. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点 D. 若时，的值域为，则t的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用极大值和导数确定可判断A；由三次函数图象的对称中心性质可判断B；由导数的意义结合切线方程可判断C；利用单调性可判断D. 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以， 即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极大值点，所以； 对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，， 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称， 而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确； 对于C，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有且仅有1个公共点， 故C正确； 对于D，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故D错误. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点P，Q，下列说法正确的有（ ） A. 当点C为线段的中点时，直线l的斜率为 B. 若，则 C. （O为坐标原点） D. 若直线l的斜率为，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，出现圆锥曲线中点条件，使用点差法即可求得直线方程，但与双曲线联立后判别式小于0，故不成立，对于B，利用双曲线方程推导出，再结合角度范围确定相等，对于C，利用双曲线定义表示和，结合在双曲线上的坐标关系，将与作差，判断差值符号即可证明大小关系，对于D，利用双曲线定义将问题转化为，即证明直线应是线段的中垂线，由此求解即可. 【详解】对于A，设， 由C为线段的中点，可得，即， 又因P，Q在双曲线上，有， 两式相减得，即， 即， 将代入上式，得， 即直线l的斜率为，故其方程为，即， 联立，整理得， 因，直线与双曲线无交点，故A错误. 对于B，由题意得，点为左顶点， 设为双曲线右支上一点，满足，即，且， 设，则， 当时，为锐角，则， 当时，为钝角，正切值为负，则， 即，且， 将代入上式得， 因，则可得，故B正确； 对于C，在双曲线的左支上，则可得， 设，则，则， 而（*）， 又因为， 因为在左支上，则，所以，即， 代入（*），得， 由，可得，故C正确； 对于D，因为直线过点且斜率为， 则的方程为，整理得， 因为在左支，在右支上，则可得， 则， 则等式 成立，等价于直线是线段的中垂线， 下面证明直线是线段的中垂线. 由题意得，则线段的中点坐标为在直线上， 且直线的斜率为，与满足， 所以是线段的中垂线，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80； 乙组：17，22，32，43，45，49，b，56． 若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________． 【答案】100 【解析】 【分析】根据百分位数和平均数的定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数， 乙组数据的平均数为， 根据题意得，解得：， 所以， 故答案为：. 13. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值. 【详解】由题可知，则， ， ==. 设，. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 则在时取得最大值. 【点睛】数列求和要熟练运用裂项相消和累加法，正确运用对数运算法则避免符号错误，结合函数与导数分析数列的单调性. 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，当时，的最小值为． （1）求函数在区间内的零点个数； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，递增区间为，递减区间为 【解析】 【分析】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可； （2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得的值域与单调区间. 【小问1详解】 函数，当时，， 则当，即时，，即， 解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4． 【小问2详解】 依题意，， 因此函数的值域为； 由，，解得，， 由，，解得，， 所以函数的递增区间为， 递减区间为． 16. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，，，，E，F分别是线段，的中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，①求的长；②求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）①建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、面面夹角定义进行求解即可； ②根据线面角定义，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，取的中点G，连接，，． 因为，，所以，，即是平行四边形， 因E，F分别是线段，的中点，则， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①如图，以G为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则点，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则由，． 设平面的一个法向量为， 由，． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得（负值舍），故 ②由①，， 因， 故与平面所成角的正弦值为． 17. 2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统G内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立． （1）当时，记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X，回答以下问题： ①若，求X的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性．为改善时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统G的可靠性？请给出你的结论并证明． （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 45 10 55 地面实验室 30 15 45 合计 75 25 100 请根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）①分布列见解析，；②能，证明见解析 （2）没有 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，则可利用二项分布的概率公式计算出的所有可能及其对应概率，即可得其分布列，即可得其期望； ②分别求出时系统G的可靠性与时系统G的可靠性，两者作差比大小后即可得； （2）计算出卡方后，与6.635比较即可得. 【小问1详解】 ①由题意可知， 所以， ，， ，， ， 则X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 故； ②能，证明如下： 当时记系统G中正常工作的元件数为随机变量X，则， 当时记系统G中正常工作的元件数为随机变量Y，则， 记时系统G的可靠性为，记时系统G的可靠性为， 故， ， 故， 故时增加一个量子芯片元件即，能提高系统G的可靠性； 【小问2详解】 由已知有， 故没有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联． 18. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆上的点，结合椭圆基本关系求出标准方程； （2）①联立直线与椭圆方程，用韦达定理转化目标式，消去参数使表达式为定值；②结合弦长公式、点到直线距离公式表示面积，利用二次函数求最大值即可. 【小问1详解】 ∵椭圆的离心率，且椭圆过点， ，∴椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①联立：与椭圆， 即，消去y，整理得到， 设，，则， ， ，在上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， ②此时 又点O到直线l的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形面积的最大值为1． 19. 已知函数． （1）若函数在区间内有一个零点，求实数a的取值范围； （2）若，使得对恒成立，求实数b的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据正弦函数的值域得出导函数正负进而得出函数单调性，再应用零点存在定理即可证明零点个数； （2）先化简再构造函数，进而应用导函数得出最值计算求解参数； （3）先根据零点化简再构造函数，应用导数得出函数单调性即可证明不等式. 【小问1详解】 由， 得，令，则， 当时，因为，所以，， 故恒成立，因此在内无零点； 当时，因为，所以，则单调递增， 故，则单调递增，故， 因此，在区间内无零点； 当时，因为，所以，则单调递增， 因为，， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，所以，又， 故在区间内只有一个零点，且． 综上，当时，在区间内有一个零点． 【小问2详解】 可整理为， 则，使得，转化为． 因为，所以，则在上单调递增， 故，转化为对恒成立， 即，即对恒成立， 因为当时，，所以． 构造函数，则，故在上单调递增． 又，等价于，则 所以恒成立，转化为． ，令，得， 当时，， 单调递增； 当时，，单调递减． 故，故b的取值范围是． 【小问3详解】 令， 则有两个不相等的实根，， 不妨设，则有， 构造函数，则， 所以在上单调递减，故，得． ，即． 下证， 令，则只要证， 设，则， 故当时，单调递增，故，则． 故，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $