安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

高三数学 （本试卷共150分　考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知z为纯虚数，且|2+z+3i|=2，则z= A.-2± B.1或-7 C.-i或7i D.i或-7i 2.已知向量a=(1，1+t)，b=(1-t，-2)，若a⊥b，则t= A.- B. C. D.- 3.直线y=kx+3与圆x2+(y-1)2=1相交的充分不必要条件可以是 A.k2>3 B.k2<3 C.k>2 D.0<k<2 4.毕业前夕，某高中高三(6)班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻(仅包括正前后或左右)，则不同站法种数为 A.24 B.36 C.42 D.48 5.函数f(x)=的部分图象大致是 6.某校为了促进学生文化学习和体育活动协调发展，对高一年级学生每周在校体育活动时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.15 0.30 0.35 0.20 则高一年级学生每周体育活动时长的第70百分位数约为 A.4.3 B.4.5 C.4.7 D.4.9 7.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，过点P(2c，0)(2c为C的焦距)作直线l与C的一条渐近线平行，直线l与C交于A点，若点A到y轴的距离为a，则C的离心率为 A. B. C. D. 8.如图，这是一张圆形纸片，其半径R=2，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点Pi(i=1，2，…，6)重合于点P，得到正六棱锥P-ABCDEF，则该六棱锥体积的最大值是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知sin α+cos α=a，sin α-cos α=b(b≠0)，则 A.a2+b2=2 B.cos 2α=ab C.tan(α+)= D.sin α= 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=1，AA1=，∠ABC=120°，则 A.平面AB1C1⊥平面A1B1BA B.AC1的长为 C.异面直线AC1与A1B1所成角的余弦值为 D.直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3x+2)是偶函数，且f(x+3)+f(-x-1)=0.当x∈[1，2]时，f(x)=ax-a2x-(a>0且a≠1)，则 A.f(31)= B.f(x)在区间[6，7]上是减函数 C.f(x)在区间[8，10]上是减函数 D.|f(i)|= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合A={x|x+1>0}，B={x|2x<3}，则A∩B=　　　　.  13.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，c=5，cos B=，则△ABC的内切圆半径为　　　　；若△ABC的内切圆与三边相切的切点分别为D，E，F，则△DEF的面积为　　　　.  14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-，0)，F2(，0)，直线l与x轴的交点为M(3，0)，过点F1作F1N⊥l于点N，|F1N|=4，且F1N的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于(1)中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 16.(15分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在AC上，AD=AC，E是CC1上的一点，∠BAC=30°，AB=BC=2，AA1=4. (1)若E是CC1的中点，求证：B1E∥平面A1BD. (2)在下面给出的三个条件中任选一个，证明另两个正确： ①三棱锥E-A1B1C1的体积是3； ②截面ABE将三棱柱ABC-A1B1C1分成的两部分的体积的比为1∶11； ③平面A1BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a4=2a1，-=. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn=+. 18.(17分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F作圆M：(x+2)2+y2=1的切线，一条切线长为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若P是圆M上的动点，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，若直线AB的斜率为，求直线AB在x轴上的截距. 19.(17分)已知函数f(x)=ln(x+1)--x-，g(x)=(1-k)x+1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若存在x0>0，当x∈(0，x0)时，f(x)+g(x)>，求实数k的取值范围. 参考答案 1.D　【命题意图】本题考查复数的概念、复数的模求解，要求考生掌握这些基础知识与解题方法. 【解题分析】设z=ai(a∈R)，则由|2+z+3i|=2得=2，整理得(a+3)2=16，解得a=1或a=-7，所以z=i或z=-7i.故选D. 2.A　【命题意图】本题考查平面向量的垂直关系，数量积的运算，要求考生了解平面向量的概念及运算. 【解题分析】由a⊥b得a·b=0，即1×(1-t)+(1+t)×(-2)=0，解得t=-，故选项A正确. 3.C　【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系的判断以及命题的充分必要条件的应用，要求考生掌握直线与圆的位置关系判断的一般方法，理解充分必要条件的概念. 【解题分析】圆x2+(y-1)2=1的圆心坐标为(0，1)，半径为1，由直线与圆相交，得<1，即>2，得k2>3，所以直线y=kx+3与圆x2+(y-1)2=1相交的充分不必要条件可以是k>2.故选C. 4.D　【命题意图】本题考查排列方法在实际问题中的应用，要求考生理解排列的概念和掌握排列数的计算方法. 【解题分析】当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧，另1人站在正后面，站法种数为2=24；当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素，从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列，所以站法种数为=24.所以不同站法种数为24+24=48.故选D. 5.A　【命题意图】本题考查函数图象的识别，要求考生理解函数的单调性、奇偶性等性质以及掌握特殊点法、特殊值法等函数图象的判断方法. 【解题分析】因为f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除选项B，D；又函数在原点附近的零点为x=π，x=-π，比较选项A，C中图象与x轴的交点位置，可知选项A正确.故选A. 6.C　【命题意图】本题考查统计表中数字特征的分析方法，要求考生了解百分位数的概念及意义，并能正确求解. 【解题分析】因为0.15+0.30=0.45，0.7-0.45=0.25，所以高一年级学生每周体育活动时长的第70百分位数为4+≈4.7，选项C正确. 7.C　【命题意图】本题考查双曲线的方程、渐近线、离心率等性质的理解及运用，考查运算求解能力，要求考生理解双曲线的几何性质，能正确运算和求解. 【解题分析】不妨设直线l与y=x平行，其方程为y=(x-2c)，代入双曲线C的方程得b2x2-(x-2c)2=a2b2，化简得4cx-4c2=a2，解得x=，所以=a，解得=，故选C. 8.B　【命题意图】本题考查平面图形的折叠、空间几何体体积的求解以及导数在求最值中的应用，要求考生掌握常见几何体的体积公式，掌握利用导数求最值(极值)的方法. 【解题分析】连接OE，OP4，OP4与DE交于点M(图略).设OE=a，则DE=a，OM=a，P4M=2-a.设正六棱锥P-ABCDEF的高为h，则h===(0<a<2)，所以正六棱锥P-ABCDEF的体积V=×6×a2h=a2=.令f(a)=2a4-a5，求导得f'(a)=8a3-5a4，由f'(a)=0，得a=，当a∈(0，)时，f'(a)>0，当a∈(，2)时，f'(a)<0，则当a=时，f(a)取得极大值，也是最大值，此时V的最大值为a2=××=.故选B. 9.AD　【命题意图】本题考查同角三角函数的关系、两角和与差的公式、二倍角公式在三角函数求值中的应用，要求考生理解这些公式并能在求值中熟练运用. 【解题分析】a2+b2=(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2，选项A正确；ab=(sin α+cos α)·(sin α-cos α)=sin2α-cos2α=-cos 2α，选项B错误；因为a=sin α+cos α=sin(α+)，b=sin α-cos α=-cos(α+)，所以=-=-tan(α+)，选项C错误；因为a+b=(sin α+cos α)+(sin α-cos α)=2sin α，a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，所以a3+b3=2sin α(2-ab)，所以sin α=，选项D正确.故选AD. 10.BCD　【命题意图】本题考查空间几何体中线线关系、面面关系以及球的表面积的计算，要求考生具有直观想象素养和逻辑推理素养. 【解题分析】 对于选项A，若平面AB1C1⊥平面A1B1BA，过点A1作A1D⊥AB1交AB1于点D，可得A1D⊥B1C1，则B1C1⊥平面A1B1BA，可得B1C1⊥B1A1，这显然不成立，故选项A错误；在△ABC中，由余弦定理得AC2=22+12-2×2×1×cos 120°=7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，从而CC1⊥AC，所以AC1==，选项B正确；因为AB∥A1B1，所以∠BAC1(或其补角)即为直线AC1与直线A1B1所成角，如图，连接BC1，可得BC1=2，则△ABC1为等腰三角形，因为AC1=，所以cos∠BAC1==，选项C正确；设△ABC的外接圆的半径为r，三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R，易知r===，则R2=r2+()2=+=，所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为4πR2=4π×=，选项D正确.故选BCD. 11.CD　【命题意图】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性，要求考生掌握抽象函数对称性的常用结论并能灵活运用. 【解题分析】因为f(3x+2)是偶函数，所以f(3x+2)=f(-3x+2)，以x替换3x，得f(x+2)=f(-x+2)，以x-2替换x，得f(x)=f(-x+4)　①；由f(x+3)+f(-x-1)=0得f(x+3)=-f(-x-1)，以x-3替换x，得f(x)=-f(-x+2)　②. 由②得f(-x+4)=f(-x+2+2)=-f(x-2)，所以f(x)=-f(x-2)，则f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.由②，令x=1，得f(1)=0， 即a-a2-=0，解得a=，所以f(x)=()x-x-，所以由周期性及①②得f(31)=f(28+3)=f(3)=f(-1)=f(-(-1)+4)=f(1)=0，选项A错误；当x∈[1，2]时，f(x)=()x-x-是减函数，由①知f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)在[2，3]上是增函数，由周期性知f(x)在区间[6，7]上是增函数，选项B错误；由②知f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)在[0，2]上是减函数，由周期性知f(x)在区间[8，10]上是减函数，选项C正确；因为f(1)=0，f(2)=-，f(3)=0，f(4)=-f(2)=，所以|f(i)|=4×(0++0+)-|f(4)|=，选项D正确.故选CD. 12.{x|-1<x<log23}　【命题意图】本题考查不等式的求解、集合的交集运算，要求考生掌握常见不等式的解法以及集合的运算. 【解题分析】由x+1>0，得x>-1，所以A={x|x>-1}.由2x<3得2x<，所以x<log23，得B={x|x<log23}，所以A∩B={x|-1<x<log23}. 13.1　　【命题意图】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，要求考生掌握正、余弦定理及其使用条件，会对三角关系式进行恒等变形. 【解题分析】因为cos B=，所以sin B=，因为a=4，c=5，所以△ABC的面积S'=acsin B=×4×5×=6. 因为b2=a2+c2-2accos B=16+25-2×4×5×=9，解得b=3. 设△ABC的内切圆半径为r，则r===1. 易知△ABC是直角三角形，不妨设AD=AE=2，BF=BD=3，CF=CE=1， 则△DEF的面积S=S'-×32sin B-×22sin A-×12sin C=6---=. 14.+=1　【命题意图】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，要求考生会用数形结合法求解. 【解题分析】依题意F2是线段F1M的中点，又P是线段F1N的中点，所以PF2∥l，因为F1N⊥l，所以PF1⊥PF2.因为点P在椭圆C上，所以|F1P|==2.结合椭圆定义，可得22+(2a-2)2=(2)2，解得a=3(a=-1舍去)，所以b2=a2-c2=9-5=4，所以椭圆C的方程为+=1. 15.【命题意图】本题考查分层随机抽样方法的应用、超几何分布的分布列及数学期望，要求考生理解分层随机抽样的概念，能识别超几何分布模型. 【解题分析】(1)已知小池塘中鱼的条数为m，由分层随机抽样方法得=， 3分 解得m=50，所以估计小池塘中有50条鱼. 5分 (2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 6分 P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==， 9分 得X的分布列为 X 0 1 2 3 P 11分 E(X)=0×+1×+2×+3×=. 13分 16.【命题意图】本题考查空间中直线与平面的平行关系的证明、空间几何体的体积、面面角的求解，要求考生具有空间想象能力，会用有关定理证明空间中的位置关系，会利用空间向量解决面面角问题. 【解题分析】 (1)证明：在△ABC中，因为∠BAC=30°，AB=BC=2， 所以AC=6，AD=4. 1分 因为AA1=4，所以△ADA1是等腰直角三角形，则可得∠DA1C1=45°. 在A1C1上取点F，使C1F=2，因为C1E=2，所以△EFC1是等腰直角三角形，则∠EFC1=45°，所以A1D∥EF. 2分 连接DF，易知四边形BDFB1为矩形，所以BD∥B1F. 因为EF，B1F都在平面A1BD外，且是相交直线， 所以EF∥平面A1BD，B1F∥平面A1BD， 4分 所以平面B1EF∥平面A1BD. 5分 因为B1E⊂平面B1EF， 所以B1E∥平面A1BD. 7分 (2)选①证明②③正确. 三棱锥E-A1B1C1的体积V1=·C1E=××6××C1E=C1E=3， 得C1E=3，所以CE=4-3=1， 9分 则三棱锥E-ABC的体积V2=S△ABC·CE=××6××1=， 而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=×6××4=12， 则==，所以②正确. 11分 由(1)可知A1B1⊥B1F，而BB1⊥平面A1B1C1， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(0，0，0)，A1(-2，0，0)，B(0，0，4)，E(，3，3). 设AC的中点为M，则M(-，，4). 12分 所以=(2，0，4)，=(3，3，3). 设平面A1BE的法向量为m=(x，y，z)， 则，即，取z=-，可得m=(2，-，-). 13分 易知平面ACC1A1的一个法向量为=(-，，0). 14分 设平面A1BE与平面ACC1A1所成角为θ，则 cos θ===，所以③正确. 15分 选②证明①③正确. 三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=×6××4=12， 三棱锥E-ABC的体积V1=S△ABC·CE=××6××CE=CE， 由=，得V1=V，所以CE=×12，得CE=1， 所以C1E=4-1=3， 9分 所以三棱锥E-A1B1C1的体积V2=S△ABC·C1E=××6××C1E=C1E=3， 所以①正确. 11分 ③的正确性，前面已证，此处略. 15分 选③证明①②正确. 由前面解法中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(0，0，0)，A1(-2，0，0)，B(0，0，4)，设E(，3，a)， AC的中点为M，则M(-，，4)， 8分 所以=(2，0，4)，=(3，3，a). 设平面A1BE的法向量为m=(x，y，z)， 则，即，取z=-，可得m=(2，，-). 9分 易知平面ACC1A1的一个法向量为=(-，，0). 10分 设平面A1BE与平面ACC1A1所成角为θ，则 cos θ===， 即=，解得a=33(舍去)或a=3. 11分 所以三棱锥E-A1B1C1的体积V1=S△ABC·C1E=××6××C1E=C1E=3， 所以①正确. 12分 又三棱锥E-ABC的体积V2=S△ABC·CE=××6××1=， 而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=×6××4=12， 则==，所以②正确. 15分 17.【命题意图】本题考查等差数列的定义的运用和通项公式的求法以及裂项法求数列的前n项和，要求考生掌握等差数列的定义和通项公式，能熟练运用裂项法求和. 【解题分析】(1)由-=得2Sn=n(an+3)　①， 所以2Sn+1=(n+1)(an+1+3)　②. 1分 由②-①得2an+1=(n+1)an+1-nan+3，即(n-1)an+1=nan-3　③， 2分 所以nan+2=(n+1)an+1-3　④. 3分 由④-③整理得an+2+an=2an+1， 4分 所以数列{an}是等差数列. 5分 在①中令n=1，得a1=3，所以a4=2a1=6，则可得公差d=1， 所以an=3+(n-1)×1=n+2，n∈N*. 7分 (2)由(1)可得bn== =+=+(-)， 9分 所以Tn=(++…+)+(-+-+…+-) 11分 =++…+++- 13分 =+. 15分 18.【命题意图】本题考查抛物线的方程、几何意义以及直线与抛物线的位置关系，要求考生熟练运用方程思想解决问题，同时要具备较强的运算求解能力. 【解题分析】(1)抛物线C的焦点为F(，0)，过点F作圆M的切线，设切点为D， |FD|=2，|FM|=2+.又圆M的半径为1， 2分 所以(2+)2=12+(2)2，解得p=2(p=-10舍去)， 5分 所以抛物线C的方程为y2=4x. 7分 (2)由y2=4x得y=2或y=-2，求导得y'=或y'=-. 8分 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则直线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y-y1=x-x1， 即y-2x1=x-x1，得2x-y1y+2x1=0. 10分 同理，可得直线PB的方程为2x-y2y+2x2=0. 11分 因为P为PA，PB的公共点， 所以2x0-y1y0+2x1=0且2x0-y2y0+2x2=0， 所以点A，B的坐标满足2x0-yy0+2x=0， 即直线AB的方程为2x-y0y+2x0=0. 13分 因为直线AB的斜率为，所以=，解得y0=. 又因为(x0+2)2+=1，解得x0=-或x0=-. 15分 对于直线AB的方程2x-y0y+2x0=0，令y=0，得直线AB在x轴上的截距为x=-x0=(或). 16分 所以直线AB在x轴上的截距为或. 17分 19.【命题意图】本题考查函数的导数在研究函数性质中的应用，要求考生会用导数研究函数的单调性，求函数最值，求参数的范围以及证明不等式. 【解题分析】(1)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)， 1分 f'(x)=-x-1=， 3分 由f'(x)>0得-1<x<0，由f'(x)<0得x>0， 5分 所以函数f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减区间为(0，+∞). 6分 (2)由(1)可知，当x>0时，f(x)<f(0)=-， 所以，当k=1时，f(x)+g(x)<-+1=，则不存在x0>0，不符合题意. 8分 当k>1时，由f(x)+g(x)>，得f(x)>(k-1)x-， 对于x>0，有(k-1)x->-，得f(x)>-，则不存在x0>0，不符合题意. 10分 当k<1时，设h(x)=f(x)+g(x)=ln(x+1)--x-+(1-k)x+1， 11分 即h(x)=ln(x+1)--kx+(x>0)， h'(x)=-x-k=， 13分 令h'(x)=0，得x1=<0，x2=>0， 14分 当x∈(0，x2)时，h'(x)>0，所以h(x)在(0，x2)上单调递增， 此时，h(x)>h(0)=，所以存在x0>0满足题意. 16分 综上，实数k的取值范围是(-∞，1). 17分 ( 第 13 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$