7.4.1 二项分布 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

7.4.1　二项分布

[课时跟踪检测]

1.在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为              （　　）

A. B.

C. D.

解析：选A　设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1-p0（1-p）4=，所以1-p=，p=.

2.已知随机变量X~B（2，p），P（X=1）=，则E= （　　）

A. B.

C. D.2

解析：选A　依题意，P（X=1）=·p·（1-p）=2·p·（1-p）=，解得p=，所以E（X）=2×=1，所以E=E（X）=×1=.

3.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为              （　　）

A. B.1

C. D.

解析：选D　遇到红灯的次数X~B，∴E（X）=4×=，∴E（Y）=E（2X）=2×=.

4.[多选]设随机变量ξ~B（2，p），η~B（3，p），若P（ξ≥1）=，则 （　　）

A.p= B.E（ξ）=

C.D（η）=1 D.P（η≥2）=

解析：选ABD　由P（ξ=0）+P（ξ≥1）=1，则P（ξ=0）=p0（1-p）2=，可得p=，所以E（ξ）=2×=，D（η）=3××=，P（η≥2）=p2（1-p）1+p3（1-p）0=+=.

5.已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次停止时，罚球次数恰为4的概率是              （　　）

A. B.

C. D.

解析：选C　设运动员罚球一次“命中”记为事件A，则P（A）=0.4，P（）=0.6.命中两次停止时，罚球次数恰为4，说明第4次命中，前3次命中1次，故所求概率为0.4×0.62×0.4=.

6.袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好3人获奖的概率是              （　　）

A. B.

C. D.

解析：选D　从袋子中一次性摸出两个球，共有=15种情况，其中两个号码的和为3的倍数的有{1，2}，{1，5}，{2，4}，{3，6}，{4，5}，共5种情况，∴一个人摸球，能够获奖的概率为1-=，

∴5人参与摸球，恰好3人获奖的概率P=××=.

7.已知离散型随机变量X服从二项分布B（n，p），其中n∈N*，0<p<1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法不正确的是              （　　）

A.a+b=1

B.p=时，a=b

C.0<p<时，a随着n的增大而增大

D.<p<1时，a随着n的增大而减小

解析：选D　对于A，由概率的基本性质可知，a+b=1，故A正确；对于B，由p=时，离散型随机变量X服从二项分布B，则P（X=k）=（k=0，1，2，3，…，n），所以a=+++…）=×2n-1=，b=+++…）=×2n-1=，所以a=b，故B正确；对于C、D，a==，当0<p<时，a=为正项且单调递增的数列，故a随着n的增大而增大，故C正确，当<p<1时，（1-2p）n为正负交替的摆动数列，故D不正确.

8.已知X~B，记使P（X=k）取最大值时的k的值为k0.把1~9这9个数字排成一列，则k0的左、右两侧都有数字，且与k0相邻的数字都比k0大的排列种数为              （　　）

A.15 B.21

C.30 D.42

解析：选C　因为X~B，则P（X=k）=×（0≤k≤9且k∈N），所以==.当k≤2时，>1，当k≥3时，<1，所以k=3时，P（X=k）最大，所以k0=3.首先将3排到中间7个位置中的一个位置，再从4，5，6，7，8，9六个数字中选两个数字排在3的左、右，其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为=30.

9.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a>0，都有P（ξ≥a）≤.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P（A）.则P（A）的最大值为              （　　）

A. B. C. D.

解析：选D　设ξ为某市去年1名市民的年收入，某市去年的人均年收入为50万元，则E（ξ）=50.设1名市民去年的年收入超过100万元的概率为p， 所以p=P（ξ>100）