课时分层评价15 二项分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价15　二项分布

(时间：60分钟　满分：110分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9题，每小题5分，共45分)

1.已知随机变量X～B(4，)，则P(X＝2)＝(　　)

A. B. 

C. D.

答案：D

解析：因为X～B(4，)，所以P(X＝2)＝)2(1－)2＝.故选D.

2.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案：A

解析：令事件A发生的概率为P，则1－(1－P)4＝，所以P＝.故选A.

3.设随机变量X～B(6，p)，若E(X)≤2，则D(X)的最大值为(　　)

A.3 B.4 

C. D.

答案：C

解析：随机变量X～B(6，p)，由E(X)≤2，得0＜6p≤2，解得0＜p≤，D(X)＝6p(1－p)＝－6(p－)2＋，则当p＝时，D(X)取得最大值，所以D(X)的最大值为6××＝.故选C.

4.已知袋中有2个白球、3个红球、1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案：C

解析：依题意，摸球一次摸出白球的概率p＝＝，有放回摸出3个球，没有摸到白球的概率为(1－p)3＝，所以至少有1个白球被摸出的概率为1－＝.故选C.

5.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(　　)

A.E(X)＝2.4 B.E(X)＝4.8

C.D(X)＝0.48 D.D(X)＝0.96

答案：B

解析：设小明投中次数为ξ，则依题意，可知ξ～B(3，0.8)，则E(ξ)＝3×0.8＝2.4，D(ξ)＝3×0.8×(1－0.8)＝0.48，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×2.4＝4.8，D(X)＝4D(ξ)＝1.92.故选B.

6.(多选)一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为X，则(　　)

A.X～B(4，) B.P(X＝3)＝

C.E(X)＝ D.D(X)＝

答案：BC

解析：依题意，知每次取到红色卡片的概率为＝，则X～B(4，)，故A错误；P(X＝3)＝·()3·＝，故B正确；E(X)＝4×＝，故C正确；D(X)＝4××＝，故D错误.故选BC.

7.若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为　　　　.

答案：

解析：依题意，知恰好有两次击中目标的概率为×()2×(1－)2＝.

8.(开放题)若离散型随机变量X满足X～B(10，)，令Y＝aX＋a2，写出使得≥2成立的a的一个值为　　　　.

答案：1(答案不唯一，符合0＜a≤即可)

解析：因为X～B(10，)，则E(X)＝10×＝5，D(X)＝10××(1－)＝，又因为Y＝aX＋a2，则E(Y)＝aE(X)＋a2＝a2＋5a，D(Y)＝a2D(X)＝a2，且≥2，即≥2，解得0＜a≤，可以取a的一个值为1.

9.某保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元.活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元.则P(Y＜200)＝　　　　.

答案：0.972

解析：依题意，知X～B(3，0.9)，因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，所以没活过65岁的人数为3－X，因此Y＝100(3－X)＋5X，即Y＝300－95X(X＝0，1，2，3)，所以P(Y＜200)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×0.92×(1－0.9)＋×0.93＝0.972.

10.(13分)已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有n门大炮同时对某一目标各射击一次.

(1)当n＝5时，求恰好击中目标2次的概率(精确到0.01)；

(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80％，至少需要多少门大炮？(lg 2≈0.301)

解：(1)5门大炮同时对某一目标各射击一次，