课时分层评价15 二项分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价15　二项分布 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.已知随机变量X～B(4，)，则P(X＝2)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为X～B(4，)，所以P(X＝2)＝)2(1－)2＝.故选D. 2.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：令事件A发生的概率为P，则1－(1－P)4＝，所以P＝.故选A. 3.设随机变量X～B(6，p)，若E(X)≤2，则D(X)的最大值为(　　) A.3 B.4 C. D. 答案：C 解析：随机变量X～B(6，p)，由E(X)≤2，得0＜6p≤2，解得0＜p≤，D(X)＝6p(1－p)＝－6(p－)2＋，则当p＝时，D(X)取得最大值，所以D(X)的最大值为6××＝.故选C. 4.已知袋中有2个白球、3个红球、1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：依题意，摸球一次摸出白球的概率p＝＝，有放回摸出3个球，没有摸到白球的概率为(1－p)3＝，所以至少有1个白球被摸出的概率为1－＝.故选C. 5.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(　　) A.E(X)＝2.4 B.E(X)＝4.8 C.D(X)＝0.48 D.D(X)＝0.96 答案：B 解析：设小明投中次数为ξ，则依题意，可知ξ～B(3，0.8)，则E(ξ)＝3×0.8＝2.4，D(ξ)＝3×0.8×(1－0.8)＝0.48，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×2.4＝4.8，D(X)＝4D(ξ)＝1.92.故选B. 6.(多选)一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为X，则(　　) A.X～B(4，) B.P(X＝3)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ 答案：BC 解析：依题意，知每次取到红色卡片的概率为＝，则X～B(4，)，故A错误；P(X＝3)＝·()3·＝，故B正确；E(X)＝4×＝，故C正确；D(X)＝4××＝，故D错误.故选BC. 7.若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为　　　　. 答案： 解析：依题意，知恰好有两次击中目标的概率为×()2×(1－)2＝. 8.(开放题)若离散型随机变量X满足X～B(10，)，令Y＝aX＋a2，写出使得≥2成立的a的一个值为　　　　. 答案：1(答案不唯一，符合0＜a≤即可) 解析：因为X～B(10，)，则E(X)＝10×＝5，D(X)＝10××(1－)＝，又因为Y＝aX＋a2，则E(Y)＝aE(X)＋a2＝a2＋5a，D(Y)＝a2D(X)＝a2，且≥2，即≥2，解得0＜a≤，可以取a的一个值为1. 9.某保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元.活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元.则P(Y＜200)＝　　　　. 答案：0.972 解析：依题意，知X～B(3，0.9)，因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，所以没活过65岁的人数为3－X，因此Y＝100(3－X)＋5X，即Y＝300－95X(X＝0，1，2，3)，所以P(Y＜200)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×0.92×(1－0.9)＋×0.93＝0.972. 10.(13分)已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有n门大炮同时对某一目标各射击一次. (1)当n＝5时，求恰好击中目标2次的概率(精确到0.01)； (2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80％，至少需要多少门大炮？(lg 2≈0.301) 解：(1)5门大炮同时对某一目标各射击一次， 设击中目标的次数为X，则X～B(5，0.5)， 故恰好击中目标2次的概率为×0.52×(1－0.5)3≈0.31. (2)依题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次， 击中0次的概率为(1－0.5)n＝0.5n， 则至少击中一次的概率为1－0.5n，则1－0.5n＞80％， 即nlg 0.5＜lg 0.2， 解得n＞＝＝≈≈2.3， 因为n∈N*，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过80％，至少需要3门大炮. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.在足球比赛中，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：依题意，门将每次扑出点球的概率为P＝××3×＝，若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数X服从二项分布，且X～B(3，)，所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为D(X)＝3××(1－)＝.故选A. 12.(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数A＝a1a2a3…a10(例如若a1，a3，a5，a6，a10＝0，a2，a4，a7，a8，a9＝1，则A＝0 101 001 110)，已知ak(k＝1，2，…，10)出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记X＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，则当程序运行一次时(　　) A.X服从二项分布 B.P(X＝1)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ 答案：AC 解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，故X中1出现次数的可能取值有0，1，2，3，4，5，则X可能取值情况与之相同，由二项分布的定义可得X～B(5，)，故A正确；故P(X＝1)＝××()4＝，故B错误；所以E(X)＝5×＝，D(X)＝5××＝，故C正确，D错误.故选AC. 13.(双空题)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，则D(2X)＝　　　　，该同学投篮最有可能命中　　　　次. 答案：7.68　10 解析：由二项分布的定义可知，X～B(12，0.8)，故D(2X)＝22D(X)＝4×12×0.8×(1－0.8)＝7.68，设该同学投篮最有可能命中m次，则 即≤m≤，因为m为正整数，所以m＝10. 14.(15分)随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵.交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯.通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为x(0＜x＜1). (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数X的分布列与均值. 解：(1)依题意，知路口遇到红灯的私家车数量X～B(5，)，则P(X＝3)＝)3×()2＝. (2)依题意，知路口遇到红灯的私家车数量X～B(5，x)， 则私家车遇到红灯的方差为 5x(1－x)≤5()2＝， 当且仅当x＝1－x⇒x＝时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是. 依题意，知X的可能取值为X＝0，1，2，3，4，5，则 P(X＝0)＝()5＝， P(X＝1)＝)5＝， P(X＝2)＝)5＝， P(X＝3)＝)5＝， P(X＝4)＝)5＝， P(X＝5)＝()5＝. 所以其分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 15.(5分)(创新题)某一地区某种疾病的患病率为10％，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是　　　　. 答案： 解析：设事件A表示抽查的人是患这种疾病的，事件B表示试验反应是阳性，则事件表示抽查的人是不患这种疾病的，事件表示试验反应是阴性，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＝0.18，有1人的试验反应是阳性，则这1人患该疾病为事件C，则P(C)＝P(A｜B)＝＝＝＝，现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中患该疾病的人数为随机变量X，则随机变量X服从二项分布，X～B(3，)，所以P(X＝1)＝)1()2＝. 16.(17分)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“1”的概率均为p.记发射信号“1”的次数为X. (1)当n＝10，p＝时，求P(X＝k)取最大值时的k值； (2)当n＝3，p∈［，］时，求P(X≥2)的最大值. 解：依题意，得发射信号“1”的次数X服从二项分布，即X～B(n，p)， (1)当n＝10，p＝， 此时P(X＝k)＝)10－k()k，0≤k≤10，k∈Z， 当X＝k取得概率最大时， 即 即 解得≤k≤， 因为k∈Z，所以k＝8. (2)当n＝3，X可取0，1，2，3， 所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝(1－p)p2＋p3＝3p2－2p3， 设f(p)＝3p2－2p3，则f'(p)＝6p－6p2， 因为≤p≤， 所以f'(p)＝6p(1－p)＞0恒成立， 所以f(p)＝3p2－2p3在［，］上单调递增， 所以f(p)max＝f()＝. 学科网（北京）股份有限公司 $